В математиці антидіагональна матриця це матриця, де всі елементи дорівнюють нулю, окрім тих, які знаходяться на діагоналі, що проходить зліва направо (↗) і відома як антидіагональ.
Формально, матриця A, що має розмірність n-на-n, називається антидіагональною матрицею якщо (i, j) елемент дорівнює нулю для всіх i, j ∈ {1, …, n} з i + j ≠ n + 1.
Прикладом антидіагональної матриці є наступна
Антидіагональна матриця також є персиметричною.
Добуток двох антидіагональних матриць є діагональною матрицею. Добуток антидіагональної матриці із діагональною матрицею — це антидіагональна матриця, так само як і добуток діагональної матриці з антидіагональною.
Антидіагональна матриця є обереною тоді і лише тоді якщо всі елементи антидіагоналі не дорівнюють нулю. Обернена матриця від антидіагональної матриці є також антидіагональною. Детермінант антидіагональної матриці має абсолютне значення, що визначається добутком значень елементів антидіагоналі. Однак, знак детермінанту буде змінюватися в залежності від розмірності матриці.
Розмірність матриціПерестановка дляненульового елементарного добуткуантидіагональної матриціПарне чи непарнеЗначення елементарного добутку2 × 2{2, 1}Непарне -3 × 3{3, 2, 1}Непарне -4 × 4{4, 3, 2, 1}Парне +5 × 5{5, 4, 3, 2, 1}Парне +6 × 6{6, 5, 4, 3, 2, 1}Непарне -
Більш точно, знак елементарного добутку, необхідного для підрахунку детермінанту антидіагональної матриці має відношення до того чи є парним або неперним відповідне трикутне число. Це тому що число інверсій у перестановці для ненульвого елементарного добутку для будь-якої n × n антидіагональної матриці завжди дорівнює n.
Джерела