Непере́рвна фу́нкція — в математичному аналізі це функція, у якій малим змінам аргумента відповідають малі зміни значення функції. Це означає, що графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу».

Усі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.

Означення

Функція дійсної змінної, яка означена в області , неперервна в точці якщо для довільного знайдеться таке (яке залежить від ), що з випливає

Функція неперервна в області , якщо неперервна в кожній точці цієї області.

Нехай  — гранична точка множини A.

Означення неперервності в точці x0 Функція f називається неперервною в точці якщо: функція f(x) визначена в точці x0. існує границя .

Означення неперервності в точці x0 за Коші Функція f називається неперервною в точці якщо:

Означення неперервності в точці x0 за Гайне Функція f називається неперервною в точці якщо: .

Точки розриву Якщо умова, що входить у визначення неперервності функції, в деякій точці порушується, то кажуть, що розглянута функція має в даній точці розрив. Інакше кажучи, якщо —  значення функції в точці , то межа такої функції (якщо він існує) не збігається з . Мовою околів умова розривності функції  в точці є запереченням умови неперервності розглянутої функції в даній точці, а саме: існує такий окіл точки  в області значень функції , що як би ми близько не підходили до точки в області визначення функції завжди знайдуться такі точки, образи яких будуть за межами околу точки .

Класифікація точок розриву в R¹ 

Класифікація розривів функцій залежить від того, як влаштовані множини X та Y. Далі наведено класифікацію для найпростішого випадку функції . Подібним чином класифікують і особливі точки  (точки, де функція не визначена).

Якщо функція має розрив в даній точці (тобто границя функції в даній точці відсутня або не збігається зі значенням функції в даній точці), то для числових функцій виникає два можливих варіанти, пов'язаних з існуванням у числових функцій односторонніх границь: якщо обидві односторонні границі існують і скінченні, то таку точку називають точкою розриву першого роду. До точок розриву першого роду відносять усувні розриви і стрибки. якщо хоча б одна з односторонніх границь не існує або не є скінченою величиною, то таку точку називають точкою розриву другого роду. До точок розриву другого роду відносять полюси і точки суттєвого розриву.

Усувна точка розриву

Якщо границя функції існує і скінченна, але функція не визначена в цій точці, або границя не збігається зі значенням функції в даній точці: , то точка називається точкою усувного розриву функції (в комплексному аналізі — усувна особлива точка). Якщо «виправити» функцію  у точці усувного розриву і покласти , то вийде функція, неперервна в даній точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до неперервної або довизначенням функції за неперервністю, що і обґрунтовує назву точки, як точки усувного розриву.

Точка розриву «стрибок»

Розрив «стрибок» виникає, якщо .

Точка розриву «полюс»

Розрив «полюс» виникає, якщо одна з односторонніх границь нескінченна. або .

Точка суттєвого розриву

У точці суттєвого розриву одна з односторонніх границь взагалі відсутня.

Класифікація ізольованих особливих точок в Rn, n>1

Для функцій та немає потреби працювати з точками розриву, але нерідко доводиться працювати з особливими точками (точками, де функція не визначена). Класифікація подібна. Якщо , то це усувна особлива точка (аналогічно функції дійсного аргументу). Полюс визначається як . В багатовимірних просторах, якщо модуль числа росте, вважається, що , яким шляхом б він не ріс. Якщо границя взагалі не існує, це суттєва особлива точка.

Поняття «стрибок» відсутнє. Те, що в вважається стрибком, в просторах більших розмірностей — суттєва особлива точка.

Властивості

Локальні Функція, неперервна в точці , є обмеженою в деякому околі цієї точки. Якщо функція неперервна в точці і (або ), то (або ) для всіх, досить близьких до . Якщо функції та неперервні в точці ,то функції та теж неперервні в точці . Якщо функції та неперервні в точці і при цьому , то функція теж неперервна в точці . Якщо функція неперервна в точці та функція неперервна в точці , то їх композиція неперервна в точці .

Глобальні Функція, неперервна на відрізку (або будь-якій іншій компактній множині), рівномірно неперервна на ньому. Функція, неперервна на відрізку (або будь-якій іншій компактній множині), обмежена і досягає на ній своє максимальне і мінімальне значення. Областю значень функції , неперервної на відрізку , є відрізок де мінімум і максимум беруться по відрізку . Якщо функція неперервна на відрізку та то існує точка в якій . Якщо функція неперервна на відрізку і число задовольняє нерівності або нерівності то існує точка у котрій . Неперервне відображення відрізка в дійсну пряму ін'єктивне в тому і тільки в тому випадку, коли дана функція на відрізку строго монотонна. Монотонна функція на відрізку неперервна в тому і тільки в тому випадку, коли область її значень є відрізком з кінцями та . Якщо функції и неперервні на відрізку , причому та то існує точка в якій Звідси, зокрема, випливає, що будь-яке неперервне відображення відрізка в себе має хоча б одну нерухому точку.

Топологічні Вивчення топологічних властивостей неперервних функцій відбувається шляхом їх розшарування на гомотопічні класи, де кожний клас складається з функцій, які можуть неперервно деформуватися одна в одну. Нехай та  — топологічні простори, а та  — неперервні функції, які відображають в . Відзначимо одиничний інтервал на дійсній прямій Тоді функції та є гомотопними, якщо існує неперервна функція , яка відображає у , для якої а Неперервна функція , яка описує неперервну деформацію функції у , називається гомотопією. Кожний гомотопічний клас характеризується степенем відображення яку називають топологічним індексом. Усі функції, які відображають у , можна розбити на гомотопічні класи, такі, що дві функції належать одному класові, якщо вони є гомотопними.

Приклади

Елементарні функції

Довільні многочлени, раціональні функції, показові функції, логарифми, тригонометричні функції (прямі і зворотні) неперервні скрізь у своїй області визначення.

Функція з усувним розривом

Функція задається формулою

неперервна в будь-якій точці Точка є точкою усувного розриву, бо границя функції

Функція знака

функція

називається функцією знака.

Ця функція неперервна в кожній точці .

Точка є точкою розриву першого роду, причому , в той час як в самій точці функція обертається в нуль.

Ступінчаста функція

Ступінчаста функція, яка визначається як

є всюди неперервна, крім точки , де функція терпить розрив першого роду. Проте, в точці існує правобічна границя, яка збігається зі значенням функції в даній точці. Таким чином, дана функція є прикладом неперервної справа функції на всій області визначення.

Аналогічно, ступінчаста функція, яка визначається як

є прикладом неперервної зліва функції на всій області визначення.

Функція Діріхле

функція

називається функцією Діріхле. По суті, функція Діріхле — це характеристична функція множини раціональних чисел. Ця функція є всюди розривною функцією, оскільки на кожному інтервалі існують як раціональні, так і ірраціональні числа.

Функція Рімана функція

називається функцією Рімана або функцією Тома.

Ця функція є неперервною всюди у множині ірраціональних чисел (), оскільки границя функції в кожній точці дорівнює нулю.

Варіації і узагальнення

Рівномірна неперервність

Функція називається рівномірно неперервної на , якщо для будь-якого існує таке, що для будь-яких двох точок і яких, що , виконується .

Кожна рівномірно неперервна на множині функція, очевидно, є також і неперервною на ньому. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Однак, якщо область визначення — компакт, то неперервна функція виявляється також і рівномірно неперервною на даному відрізку.

Напівнеперервність

Існує дві симетричні одна до одної властивості — напівнеперервна знизу і напівнеперервна зверху : функція напівнеперервна знизу в точці , якщо для будь-якого існує така околиця , що для будь-якого ; функція називається напівнеперервна зверху в точці , якщо для будь-якого існує такий окіл точки , що для будь-якого . Між неперервністю і напівнеперервністю є такий зв'язок: якщо взяти функцію , неперервну в точці , і зменшити значення (на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівнеперервну знизу в точці ; якщо взяти функцію , неперервну в точці , і збільшити значення на кінцеву величину), то ми отримаємо функцію, напівнеперервну зверху в точці . Відповідно до цього можна допустити для напівнеперервних функцій нескінченні значення: якщо , то будемо вважати таку функцію напівнеперервна знизу в точці ; якщо ,то будемо вважати таку функцію напівнеперервна зверху в точці .

Одностороння неперервність

Функція називається односторонньо неперервною зліва (справа) в кожній точці її області визначення, якщо для односторонньої границі виконується рівняння:

Неперервність майже всюди

На дійсній прямій зазвичай розглядається проста лінійна міра Лебега. Якщо функція така, що вона неперервна всюди на , крім, можливо, множини міри нуль, то така функція називається неперервною майже всюди.

У тому випадку, коли множина точок розриву функції не більше ніж зліченна, ми отримуємо клас інтегрованих за Ріманом функцій (див. Критерій інтегрованості функції за Ріманом).

Див. також Теорема Больцано — Коші Лінійний неперервний оператор Абсолютна неперервність Простір неперервних функцій Принцип неперервності

Джерела