Філософія математики — розділ філософії (філософія предметної області), що досліджує філософські припущення, основи і наслідки математики. Метою філософії математики є оцінка природи і методології математики і розуміння місця математики в житті людей.Філософія математики ставить питання про те, які принципи і поняття лежать в основі математичної науки, які є її фундаментальними принципами, і які процеси в математиці відбуваються. Філософія математики включає дослідження таких питань, як: чи є математика суто людською творчістю, чи є математичні твердження незалежними від світу досліджуваних об'єктів, які методи доведення тверджень в математиці є дійсно вірогідними, чи існує єдиний математичний світ і т. д. Філософія математики є розділом філософії науки і близька до метаматематики. Логічна та структурна природа самої математики робить філософські дослідження математики одночасно широкими і унікальними серед інших розділів філософії.
Основоположне питання філософії математики полягає у встановленні взаємовідносин між математичними поняттями і теоріями з одного боку, та реальним світом — з іншого.
Іммануїл Кант в Критиці чистого розуму так пише про спільність і відмінність філософського і математичного пізнання: Філософське пізнання є розумове пізнання з понять, математичне — з конструкції понять.Іммануїл Кант. Критика чистого розуму. Переклад з німецької Ігоря Бурковського. Київ: Юніверс, 2000. 504 с., с.409 ISBN 966-7305-32-5 (Chtyvo.org
У філософії математики можна виділити два основні напрями: математичний реалізм і математичний антиреалізм.
Головні теми (питання), які розглядає філософія математики: Що є джерелами математичного змісту? Що таке онтологічний статус математичних сутностей? Що відносимо до математичних об'єктів? Яка особливість математичного судження ? Який зв'язок між логікою і математикою? Яка роль герменевтики в математиці? Які дослідження відіграють важливу роль в математиці? Які цілі математичного дослідження? Що отримує математика від спирання на досвід? Які людські особливості лежать в основі математики (гуманістичний аспект математики)? Що таке краса математики (естетика математики)? Що є джерелом і яка природа математичної істини? Який зв'язок між абстрактним світом математики і матеріальним всесвітом?
Існують філософія математики і математична філософія, які деколи вживаються як синоніми, однак вони охоплюють різні царини досліджень і є окремими розділами філософії. Дослідження математичної філософії стосуються проекту формалізації філософських галузей, скажімо, естетики, етики, логіки, метафізики, або богослов'я, в нібито точніші і строгіші форми, як, наприклад, праці схоластичних богословів або прагнення систематизації Лейбніца і Спінози. Також математичну філософію пов'язують з практичною філософією окремих математиків чи співтовариств математиків-однодумців. Крім того, дехто розуміє термін "математична філософія", як натяк на підхід Бертрана Рассела до філософії і математики, який він виклав у своїх книгах "Принципи математики" і "Вступ у математичну філософію".
Історія
Походження математики викликає багато суперечок. Чи була поява математики випадковою чи викликаною необхідністю під час розвитку подібних наук, таких як фізика, досі залишається предметом суперечок.
Багато мислителів висловили свої ідеї щодо природи математики. Існують традиції математичної філософії як у західній філософії, так і в східній філософії. Західна філософія математики сягає Піфагора, який описав теорію «все є математика», Платона, який перефразував Піфагора, і досліджував онтологічний статус математичних об’єктів, і Арістотеля, який вивчав логіку та питання, пов’язані з нескінченністю (актуальною і потенційною).
На грецьку філософію математики сильно вплинуло їх вивчення геометрії. Наприклад, свого часу греки вважали, що 1 (один) — це не числоВан дер Варден. Наука, що пробуджується. Математика давнього Єгипта, Вавилона і Греції. М.: Физматгиз, 1959, с.151, примітка **, а одиниця довільної довжини. Число визначалося як безліч. Таким чином, 3, наприклад, представляло певну кількість одиниць і, таким чином, було «справжнім» числом. Подібний аргумент, що 2 — це не число, а фундаментальне поняття пари. Ці погляди походять із переважної геометричної точки зору ("лінійка та циркуль") греків: подібно до того, як лінії, проведені в геометричній задачі, вимірюються пропорційно до першої довільно накресленої лінії, так і числа на числовій прямій вимірюються пропорційно до довільного першого «числа» або «одиниці».
Ці ранні грецькі уявлення про числа були пізніше перевернуті відкриттям ірраціональності квадратного кореня з двох. Гіппас, учень Піфагора, показав, що діагональ одиничного квадрата несумірна з його (одиничною довжиною) стороною: іншими словами, він довів, що не існує раціонального числа, яке б точно відображало пропорцію діагоналі одиничного квадрата до його сторони. Це викликало значну переоцінку грецької філософії математики. Згідно з легендою, піфагорійці були настільки травмовані цим відкриттям, що вбили Гіппаса, щоб перешкодити йому поширювати свою єретичну ідею. Саймон Стевін був одним із перших у Європі, хто кинув виклик грецьким ідеям у 16 столітті. Починаючи з Лейбніца, увага суттєво змістилася на зв’язок між математикою та логікою. Цей погляд домінував у філософії математики за часів Фреге та Рассела, але був поставлений під сумнів розвитком математики і філософії кінця 19-го та початку 20-го століття. Сучасна філософія математики Тривале питання у філософії математики стосується взаємозв’язку між логікою та математикою та їх спільних основ. Філософія математики 20-го століття характеризувалася переважним інтересом до формальної логіки, теорії множин (як наївної теорії множин, так і аксіоматичної теорії множин) і основ математики.
Великою загадкою є те, що, з одного боку, математичні істини, здаються настільки переконливими, але з іншого боку, джерело їхньої «істинності» залишається невловимим. Одне з найбільших досліджень цього питання відоме як «Гільбертова програма» обґрунтування основ математики.
На початку 20-го століття філософи математики вже почали ділитися на різні школи, широко розрізняючись своїми картинами математичної епістемології та онтології. В цей час виникли три школи: формалізм, інтуїтивізм і логіцизм частково у відповідь на все більш поширене занепокоєння, що математика в її існуючому вигляді, і математичний аналіз зокрема, не відповідають стандартам певності та строгості. Кожна школа зверталася до проблем, які виходили на перший план у той час, або намагаючись їх вирішити, або стверджуючи, що математика не має права на статус нашого знання, якому найбільше довіряють.
Несподівані та суперечливі розвитки формальної логіки та теорії множин на початку 20-го століття призвели до нових питань щодо того, що традиційно називали основами математики. З плином століття початковий фокус уваги розширився до відкритого дослідження фундаментальних аксіом математики, аксіоматичний підхід сприймався як належне з часів Евкліда близько 300 року до н. е. як природна основа математики. Поняття аксіоми, висловлення та доведення, а також поняття істинності висловлення щодо математичного об’єкта були формалізовані, що дозволило розглядати їх математично. Було сформульовано аксіоми Цермело-Френкеля для теорії множин, які забезпечили концептуальну основу, у якій інтерпретувалося б багато математичних дискурсів. У математиці, як і у фізиці, виникали нові та несподівані ідеї та відбувалися значні зміни. За допомогою нумерації Геделя висловлення можна інтерпретувати як посилання на себе чи інші висловлювання, що дозволяє досліджувати несуперечність математичних теорій. Ця рефлексивна критика, в якій досліджувана теорія «сама стає об’єктом математичного дослідження», спонукала Гільберта назвати таке дослідження метаматематикою або теорією доведення.
У середині століття і створили нову математичну теорію, відому як теорія категорій, і вона стала новим претендентом на природну мову математичного мислення.Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, NY. В 20-му столітті відбувався певний прогрес у філософії математики, однак філософські погляди розійшлися щодо того, наскільки обґрунтованими були питання про основи математики, які були підняті на початку століття. Гіларі Патнем резюмував поширений погляд на ситуацію в останній третині століття, написавши:
Коли філософія виявляє щось не те у науці, інколи науку доводиться змінювати — на думку спадає парадокс Рассела, як і атака Берклі на актуальну нескінченно малу величину, — але частіше змінювати доводиться саме філософію. Я не думаю, що труднощі, які філософія зустрічає з класичною математикою сьогодні, є справжніми труднощами; і я вважаю, що філософські інтерпретації математики, які нам пропонують з усіх боків, є неправильними, і що «філософська інтерпретація» — це те, чого математика не потребує.Putnam, Hilary (1967), "Mathematics Without Foundations", Journal of Philosophy 64/1, 5-22. Reprinted, pp. 168–184 in W.D. Hart (ed., 1996).
Основні сучасні філософські питання математики: теорема про неповноту (Курт Гедель), семантична концепція істинності (Альфред Тарський), втрата визначеності та пошуку істинності (), правдоподібні міркування (Дьордь Поя), сутнісні аспекти визначення математичних понять і доказовості () тощо.https://ped-ejournal.cdu.edu.ua/article/view/667/681 ФІЛОСОФІЯ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ ЯК СМИСЛОВИЙ СКЛАДНИК МЕТОДИЧНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ
Філософія математики сьогодні розвивається в різних напрямках досліджень філософів математики, логіків, математиків, існує багато наукових шкіл з цієї тематики. Школи розглядаються окремо в наступному розділі та пояснюються їхні погляди.
Основні напрямки Математичний реалізм Математичний реалізм, як форма реалізму, вважає що математичні поняття існують незалежно від людського розуму. Таким чином, люди не винаходять математику, а відкривають її, і будь-які інші розумні істоти у Всесвіті, ймовірно, зробили б те саме. З цієї точки зору насправді існує один вид математики, який можна відкрити; трикутники, наприклад, є реальними сутностями, а не витворами людського розуму.
Багато математиків були математичними реалістами; вони вважають себе першовідкривачами природних об'єктів. Серед них можна виокремити Пауля Ердеша та Курта Геделя. Гедель вірив в об’єктивну математичну реальність, яку можна усвідомлювати аналогічно чуттєвому сприйняттю. Певні принципи (наприклад, для будь-яких двох об’єктів існує набір об’єктів, що складається саме з цих двох об’єктів) можна безпосередньо вважати істинними, але гіпотеза континууму може виявитися нерозв’язною лише на основі таких принципів. Гедель припустив, що квазіемпірична методологія може бути використана для надання достатніх доказів, щоб мати можливість розумно припустити таку гіпотезу.
У рамках реалізму існують відмінності залежно від того, яке існування мають математичні сутності та як ми знаємо про них. Основні і відмінні форми математичного реалізму знаходимо в платонізмі і арістотелізмі.
Математичний антиреалізм Математичний антиреалізм загалом стверджує, що математичні твердження мають значення істинності, але не через відповідність спеціальній сфері нематеріальних або неемпіричних сутностей. Основні форми математичного антиреалізму включають формалізм і фікціоналізм. Сучасні наукові школи Художня Погляд, який стверджує, що математика — це естетична комбінація припущень, а також стверджує, що математика — це мистецтво. Відомий математик, який це стверджує, британець Г. Г. Харді. Для Харді в його книзі визначення математики було більше схоже на естетичне поєднання понять.
Платонізм