Компактно-відкрита топологія — природна топологія на просторі неперервних відображень між топологічними просторами. Компактно відкрита топологія часто використовується у теорії гомотопій і функціональному аналізі.

Означення Нехай — простір неперервних відображень між двома топологічними просторами . Компактно-відкритою топологією на цьому просторі називається топологія передбазу якої утворюють множини відображень виду

де — відкрита множина, а — компактний простір.

Приклади

Якщо є одноточковим топологічним простором то можна ідентифікувати із . При цій ідентифікації компактно-відкрита топологія співпадає із топологією простору . Більш загально, якщо є дискретним простором, то можна ідентифікувати із добутком копій простору і компактно-відкрита топологія є рівною топології добутку. Якщо є метричним простором (або, більш загально, рівномірним простором), тоді компактно-відкрита топологія є рівною топології компактної збіжності. Тобто, якщо є метричним простором то послідовність } збігається до у компактно-відкритій топології якщо і тільки якщо для кожної компактної множини у , } рівномірно збігається до на . Якщо є компактним простором, а — рівномірним простором, тоді компактно-відкрита топологія є рівною топології рівномірної збіжності. Компактно-відкрита топологія широко використовується для таких важливих просторів: , простір петель для у точці .

Властивості

Якщо є гаусдорфовим простором і є передбазою простору , тоді множини } утворюють передбазу компактно-відкритої топології на . Якщо є підпростором (із індукованою топологією), то компактно-відкрита топологія на є індукованою топологією від компактно-відкритої топології на просторі . Якщо простір задовольняє аксіоми T0, T1, є гаусдорфовим, регулярним чи цілком регулярним то такі ж властивості має і компактно відкрита топологія на просторі . Якщо , і є топологічними просторами, і — неперервні відображення, то можна задати відображення як Дане відображення є неперервним, якщо на і задано компактно-відкриті топології.

Нехай є елементом передбази простору , де — відкрита множина, а — компактний простір. Тоді Але є компактною множиною у , а 'відкритою множиною у . Тому Тобто прообрази елементів передбази простору є відкритими підмножинами у і є неперервним відображенням.

У позначеннях попередньої властивості, якщо і є ще двома неперервними відображеннями, то Якщо є парою гомотопно еквівалентних відображень і також є парою гомотопно еквівалентних відображень, тоді і є гомотопно еквівалентними. Якщо і є топологічними просторами і є локально компактним і гаусдорфовим, то відображення задане як є неперервним (на всіх функційних просторах задана компактно-відкрита топологія, а на — топологія добутку). Як частковий випадок попередньої властивості, якщо є локально компактним і гаусдорфовим, тоді відображення обчислення , задане як , є неперервним. Ця властивість зводиться до попередньої, якщо за взяти одноточковий простір. Якщо і є топологічними просторами і відображення є неперервним, то і відображення задане як є неперервним (для компактно-відкритої топології на ). Якщо додатково простір є локально компактним і гаусдорфовим, то правильним буде і обернене твердження, тобто із неперервності F випливає неперервність f. У цьому випадку одержується бієкція між і яка є гомеоморфізмом відповідних топологічних просторів із компактно-відкритими топологіями. Якщо є компактним простором і — метричним простором і з метрикою , то компактно-відкрита топологія на є метризовною із метрикою заданою як для .

Властивості пов'язані із букетом просторів і смеш-добутком

Нижче позначає букет просторів, а — смеш-добуток просторів, а всі функціональні простори наділені компактно-відкритою топологією.

Якщо і є топологічними просторами і є гаусдорфовим, то простори і є гомеоморфними. Якщо і є топологічними просторами і є гаусдорфовим, то простори і є гомеоморфними. Для топологічних просторів і можна задати відображення: як Для будь-яких просторів це відображення є інєктивним. Якщо є гаусдорфовим простором то воно є неперервним. Якщо є локально компактним і гаусдорфовим, то відображення є сюрєктивним. Якщо і є компактними і гаусдорфовими, то відображення є гомеоморфізмом.

Див. також

Простір петель Рівномірна збіжність

Література

О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии