Опуклою множиною в евклідовому або афінному просторі називається така множина, яка разом з довільними двома точками, що належать множині, має у собі відрізок, що їх з'єднуєАналітична геометрія: Навч. посібник для студ. мат. спец. ун-тів: пер. с рус. / О. А. Борисенко, Л. М. Ушакова ; Пер. Г. Ч. Курінний. — Харків: Основа, 1993 . — 192 с. .
Визначення Іншими словами, множина називається опуклою, якщо для точок , що задаються радіус-векторами , точка:
Тобто, множина разом з будь-якими двома точками , які належать цій множині, містить відрізок, який їх з'єднує: .
Приклади У просторі опуклими множинами будуть точка, відрізок, інтервал, промінь, пряма.
У просторі опуклим буде сам простір, будь-який його лінійний підпростір, куля, опуклі множини просторів меншої вимірності. Також, опуклими будуть такі множини: пряма , що проходить через точку в напрямку вектора : ; промінь , який виходить із точки в напрямку вектора : ; гіперплощина Hpβ з нормаллю p: ; півпростори на які гіперплощина поділяє простір: , .
Всі перелічені множини (крім кулі) є частковими випадками опуклої множини поліедру.
Чотирикутник на площині може бути опуклим і неопуклим.
Властивості опуклих множин Перетин опуклих множин є опуклим. Лінійна комбінація точок опуклої множини опукла. Опукла множина містить будь-яку опуклу комбінацію своїх точок. Будь-яку точку n-вимірного евклідового простору з опуклої оболонки множини можна представити як опуклу комбінацію не більш ніж n+1 точок цієї множини.
Див. також
Задача опуклого програмування Опукла оболонка Опуклий політоп Опукла поверхня Лема Шеплі — Фолкмана Опуклий аналіз
Посилання
Джерела
.