Індекс підгрупи у групі ― число класів суміжності в кожному (правому або лівому) із розкладів групи за цією підгрупою (в нескінченному випадку — потужність множини цих класів).
Індекс підгрупи в групі зазвичай позначається .
Пов'язані означення Якщо число суміжних класів скінченне, то називається підгрупою скінченного індексу в .
Властивості Добуток порядку підгрупи на її індекс рівний порядку групи (теорема Лагранжа). Це твердження є вірним як для скінченної групи , так і у випадку нескінченної ― для відповідних потужностей. Якщо H є підгрупою G, а K — підгрупою H, то:
Теорема Пуанкаре
Перетин скінченної кількості підгруп скінченного індексу має скінченний індекс (теорема Пуанкаре).
Твердження достатньо довести для випадку двох підгруп. Нехай підгрупи Н і F — підгрупи скінченного індексу в групі G і D — їх перетин. Елементи a і b тоді і тільки тоді належать одному лівосторонньому суміжному класу по D, якщо , тобто якщо і . Отже всі лівосторонні класи суміжності групи G по підгрупі D, це всі непусті перетини лівосторонніх класів суміжності по підгрупі Н з лівосторонніми класами по підгрупі F. Із скінченності індексів підгруп Н і F випливає скінченність числа цих перетинів і скінченність індексу підгрупи D в групі G.
З доведення також випливає нерівність:
Див. також Клас суміжності групи Теорема Лагранжа
Література
О.Г.Ганюшкін, О.О.Безущак. Теорія груп: Навчальний посібник для студентів механіко математичного факультету. К.: Видавничо-поліграфічний центр Київський університет, 2005.