Диференціальне та інтегральне числення (, від , дослівно «невеликий камінчик» — такий, що в рахівницях, який використовувався для підрахунку) — розділ математики, що вивчає збіжності послідовностей і рядів, неперервні дійсні функції й диференціальне та інтегральне числення дійсних функцій однієї змінної. Традиційно в інших країнах курс «числення» є вступом до математичного аналізу та інших курсів, які використовують диференціальне й інтегральне числення.
Диференціальне та інтегральне числення вивчає змінні, як геометрія вивчає форми, а алгебра — операції та їх застосування для розв'язання рівнянь. Його широко застосовують у науці, економіці й інженерії, до того ж використовують під час розв'язання багатьох задач, для яких однієї алгебри недостатньо.
Історично склалося так, що диференціальне та інтегральне числення називали «численням нескінченно малих». Прикладами інших відомих числень є: числення висловлювань, варіаційне числення, лямбда-числення тощо.
Історія Сучасна теорія диференціального числення була розроблена в 17-му столітті в Європі Ісааком Ньютоном і Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем (незалежно один від одного, і публікували це вперше приблизно в однаковий час), але елементи цієї теорії з'явилися ще в стародавній Греції, потім в Китаї і Середньому Сході, і згодом знов у середньовічній Європі і Індії.
Стародавні часи
В стародавньому періоді історії з'явилися деякі ідеї, які згодом привели до появи інтегрального числення, але ці ідеї не розвинулися у точну і систематизовану теорію. Розрахунок об'єму і площі, що є однією із задач інтегрального числення, було знайдено у одному з єгипетських математичних папірусів (13-ї династії, близько 1820 р. до н.е.), але наведені формули є простими інструкціями, без описання методу, і в ньому бракує деяких основних компонент.Morris Kline, Mathematical thought from ancient to modern times , Vol. I В епоху давньогрецьких математиків, Евдокс (близько 408–355 р. до н.е.) використовував метод вичерпування, що є попередником поняття границі, для розрахунку площ і об'ємів, а Архімед (близько 287–212 до н.е.) , і заснував методи евристики, які нагадують методи інтегрального числення.Archimedes, Method, in The Works of Archimedes Метод вичерпування згодом незалежно від того було відкрито в Китаї математиком Лю Хуей у 3-му столітті н.е. для того, щоб знайти площу кола.,Chapter , p. 279 В 5-му столітті н.е., , син Цзу Чунчжи, заснував метод Extract of page 27 для знаходження об'єму сфери, який згодом назвали принципом Кавальєрі.
Середньовіччя У Середньому Сході, Ібн аль-Хайсам (близько 965 – 1040 н.е.) отримав формулу для суми четвертих степенів. Він отримав результат, який би зараз назвали інтегруванням функції, і використав цю отриману формулу для розрахунку об'єму параболоїда.Katz, V. J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America), 68(3):163–174. В 14-му столітті, індійські математики створили не строгий метод, що нагадує диференціювання, що застосовувався до деяких тригонометричних функцій. Таким чином, Мадхава із Сангамаграми і Керальська школа астрономії та математики започаткували елементи числення. Повна теорія, яка містить ці компоненти тепер добре відома Західному світу як Ряд Тейлора або наближення нескінченних рядів. Однак, вони не змогли "об'єднати багато з цих різних ідей за допомогою двох загальних тепер понять похідної і інтеграла, показати зв'язок між ними двома, і не змогли перетворити числення у потужній інструмент вирішення задач, який ми маємо сьогодні".
Сучасні часи
В Європі фундаментальною роботою в цьому напряму був трактат Бонавентура Кавальєрі, який запропонував, що об'єми і площі треба розраховувати як суму об'ємів і площ нескінченно тонких розділених частин. Ідеї були схожими на ідеї Архімеда в праці , але вважають що цей трактат було втрачено в 13-му столітті, і його знову було знайдено на початку 20-го століття, тому Кавальєрі він був не відомим. Роботу Кавальєрі спочатку не набула загального визнання, оскільки його метод міг призвести до неправильних результатів, а нескінченно малі які він запропонував спочатку не сприйняті.
Приблизно в той самий час, разом із формальним дослідженням числення нескінченно малих Кавальєрі в Європі розвивалося поняття числення скінченних різниць. П'єр Ферма, стверджуючи що позичив це у Діофанта, запропонував поняття , що означало рівність до деякої нескінченно малої похибки.André Weil: Number theory. An approach through history. From Hammurapi to Legendre. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, , p. 28. Поєднати це змогли Джон Валліс, Ісаак Барроу, і Джеймс Грегорі, які згодом довели другу частину фундаментальної теореми числення близько 1670 р.
Такі поняття як правило добутку і ланцюгове правило, Extract of page 248 нотації похідних вищого порядку і ряди Тейлора, Extract of page 87 і аналітичні функції були запропоновані Ісааком Ньютоном у вигляді ідиосинкратичної нотації, яку Ньютон використовував для вирішення задач математичної фізики. У своїй роботі, Ньютон перефразував свої ідеї так, щоб вони відповідали математичним ідіомам того часу, замінивши розрахунки нескінченномалих еквівалентними геометричними аргументами, які, як вважалося, були поза сумнівами. Він використав методи числення для вирішення задачі руху планет, форми поверхні рідини, яка обертається, сплющеності Землі, переміщення ваги, що рухається по циклоїді, і для багатьох інших задач, що описав у своїй роботі з Начал математики (1687). В іншій роботі, він дослідив розкладання функцій за допомогою рядів, включаючи дробові і ірраціональні степені, і було очевидно, що він зрозумів принципи рядів Тейлора. Він не опублікував ці дослідження, і в той час методи числення нескінченномалих досі піддавалися дискусіям.
Готфрід Вільгельм Лейбніц впорядкував ці ідеї у справжнє числення нескінченномалих, хоча спочатку його звинувачували в плагіаті Ньютона.Leibniz, Gottfried Wilhelm. The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. Cosimo, Inc., 2008. Page 228. Copy Тепер його вважають незалежним розробником, що вніс свій вклад в розвиток числення. Його вкладом було те, що він надав чіткий набір правил для роботи із нескінченномалими величинами, що дозволили розраховувати похідні другого і вищих порядків, і сформулював правило добутку і ланцюгове правило, в диференційній і інтегральній формах. На відміну від Ньютона, Лейбніц приділив увагу формалізму, часто витрачаючи на це цілі дні для пошуку правильних позначень для понять.
Сьогодні, обидва Лейбніц і Ньютон відзначені за свій незалежний вклад у започаткуванні числення. Ньютон був першим, хто застосував методи числення до загальної фізики, а Лейбніц розробив більшість нотацій, що використовуються сьогодні. Базовими уявленнями, які сформулювали обидва Ньютон і Лейбніц були правила диференціювання і інтегрування, похідні другого і вищих порядків, і нотації наближення за допомогою поліноміальних рядів. За часів Ньютона фундаментальна теорема числення вже була відома.
Коли Ньютон і Лейбніц опублікували вперше свої результати, відбулася велика суперечка щодо того, хто з математиків заслужив визнання за відкриття. Ньютон отримав свої результати першим (і згодом опублікував у роботі Метод флюксій), але Лейбніц опублікував свою роботу "" раніше за нього. Ньютон звинуватив Лейбніца, що той вкрав його ідеї з його не опублікованих записів, якими Ньютон поділився із декількома членами Лондонського королівського товариства. Ця полеміка розділяла англомовних математиків від математиків континентальної Європи багато років, що завдало шкоди англійській математиці. Уважне вивчення статей Лейбніца і Ньютона показує, що вони прийшли до своїх результатів незалежно, і в них Лейбніц спершу почав із інтегрування а Ньютон з диференціювання. Однак саме Лейбніц дав цій новій дисципліні її сучасну назву. Ньютон називав це "наукою про флюксії".
Із часів Лейбніца і Ньютона, багато математиків зробили свій внесок в розвиток числення. Одну із перших і більш повних робіт із числення нескінченномалих і інтегрального числення написала Марія Ґаетана Аньєзі в 1748 р..
Основоположення Границі і нескінченно малі
Методи числення зазвичай розвивалися при роботі із дуже малими значеннями. Історично, перші методи, за допомогою яких це вирішувалося, вивчали нескінченно малі величини. Це такі об'єкти, які можна розглядати як дійсні числа, але які, в деякому сенсі, є "нескінченно малими". Наприклад, нескінченно мале може бути більшим за 0, але меншим за будь-яке число у послідовності 1, 1/2, 1/3, ... і таким чином менше ніж будь-яке додатне дійсне число. З цієї точки зору, числення це набір методів з маніпуляції нескінченно малими. Позначення dx і dy були прийняті для описання нескінченно малої, а похідна є їх відношенням.
Підхід із використанням нескінченно малих перестав бути популярним в 19-му столітті, оскільки було важко точно сформулювати поняття нескінченно малої. Однак, поняття було відроджене в 20-му столітті із появою нестандартного аналізу і , які заклали основи для операцій над нескінченно малими.
В 19-му столітті, принцип нескінченно малих замінив підхід із величинами епсилон і дельта, що застосовується до границь. Границі описують значення функції у певній точці у термінах її значень у сусідніх точках. Вони задають поведінку у малому проміжку у контексті системи дійсних чисел. З цієї точки зору, числення є набором технік із маніпуляції певними границями. Нескінченно малі були замінені дуже малими числами, а нескінченно мала поведінка функції досліджується шляхом вивчення поведінки границі для все менших і менших чисел. Границі були першим інструментом, що забезпечив основи методів числення, і з цієї причини вони стали стандартними методами.
Диференціальне числення
Диференціальне числення це наука що визначає, вивчає властивості і застосування похідної функції. Процедура знаходження похідної називається диференціюванням. Дано функцію і точку у деякій області визначення, похідна у точці є способом представлення поведінки функції у малому масштабі в околі цієї точки. Якщо знайти похідну функції в кожній точці її області визначення, можна утворити нову функцію, що називається похідною функцією або просто похідною початкової функції. Формально, похідна є лінійним оператором, що приймає функцію на вхід і утворює іншу функцію в результаті. Це є складнішою абстракцією ніж значна кількість процесів, які вивчає елементарна алгебра, де функції зазвичай приймають на вхід число і повертають інше число. Наприклад, якщо функції подвоєння подати на вхід число три, тоді її результатом буде число шість а якщо функції піднесення в квадрат подати на вхід число три, результатом буде число дев'ять. Однак, похідна може прийняти на вхід функцію піднесення у квадрат. Це означатиме, що похідна обраховує всю інформацію про цю функцію—те що два в квадраті буде чотири, три в квадраті буде дев'ять, чотири — шістнадцять, і так далі—і використовує цю інформацію для утворення нової функції. Функція, що утворена в результаті диференціювання функції піднесення в квадрат, буде функцією подвоєння.
У більш зрозумілій формі «функцію подвоєння» можна позначити як а «піднесення у квадрат» як . «Похідна» приймає на вхід функцію , що визначена виразом «», що є всією необхідною інформацією—про те що два в квадраті це чотири, три в квадраті це дев'ять або чотири в квадраті це шістнадцять і так далі— і використовую цю інформацію для утворення іншої функції, в результаті буде функція .
Найбільш широко вживаним символом для позначення похідної є знак подібний до апострофа, що називається штрих. Таким чином, похідна функції, що названа як буде позначатися як, що вимовляється як «f штрих». Наприклад, якщо є функцією піднесення в квадрат, тоді є її похідною (функція подвоєння , що згадувалася вище). Така нотація називається нотацією Лагранжа.