Гомологічна алгебра — розділ алгебри, що вивчає алгебраїчні об'єкти, запозичені з алгебраїчної топології. При вивченні розширень груп, першими гомологічні методи у алгебрі застосували у 40-х роках XX століття і .
Гомологічна алгебра відіграє важливу роль в алгебричній топології, застосовується в багатьох розділах алгебри, таких як теорія груп, теорія алгебр, алгебрична геометрія, теорія Галуа.
Ланцюговий комплекс
Ланцюговий комплекс це градуйований модуль з диференціалом , (що не виконується для півсфери, яка є проєкцією 4-вимірного об'єкта), що знижує градуювання для ланцюгового комплексу, , або підвищує градуювання для коланцюгового комплексу, .
Одним з основних понять гомологічної алгебри є ланцюговий комплекс. Ланцюгові комплекси присутні у різних розділах математики, в алгебричній топології, комутативній алгебрі, алгебричній геометрії, вивчення загальних властивостей комплексів є однією з основних завдань гомологічної алгебри.
Резольвента
Проективною резольвентою модуля , називається лівий комплекс , у якому всі є проективними і гомології якого дорівнюють нулю, окрім нульових.
Проективні резольвенти використовуються для обчислення функторів и . Резольвенти виникли в алгебраїчній топології для обчислення гомологій топологічного добутку за гомологіями множників за формулою Кюнетта.
Література А. Картан, С. Эйленберг, «Гомологическая алгебра», 1960 год. С. Маклейн, «Гомология», 1966 год. Р. Годеман «Алгебраическая топология и теория пучков», 1961 год. Бурбаки, «Гомологическая алгебра», 1987 год.