Тео́рія хао́су — підрозділ математики та фізики, який займається дослідженням систем, динаміка яких, за певних умов, значною мірою залежить від початкових умов, що робить довгострокове прогнозування неможливим. Через те що, з одного боку, динаміка поведінки таких систем відповідає законам фізики, а, з другого, виглядає нерегулярною, вона називається детермінованим хаосом. Хаотичні системи є нелінійними динамічними системами.

Інтеміттенція означає, що сигнал, який розвивається у часі регулярно (або ламінарно), переривається статистично розподіленими проміжками нерегулярного руху (інтерміттентними сплесками). При зміні зовнішнього керуючого параметра середнє число цих сплесків зростає до тих пір, поки рух не стає повністю хаотичним.

Прикладами хаотичних систем є атмосфера, турбулентні потоки, деякі види аритмій серця, біологічні популяції, суспільство як система комунікацій та його підсистеми: економічні, політичні, психологічні (культурно-історичні та інтеркультуральні) й інші соціальні системи. Їх вивчення, поряд з аналітичним дослідженням наявних рекурентних співвідношень, зазвичай супроводжується математичним моделюванням.

Едвард Лоренц описав теорію хаосу так:

Теорія хаосу — галузь досліджень, що пов'язує математику і фізику. В основу теорії хаосу лягли серед інших роботи Анрі Пуанкаре, Едварда Лоренца, Бенуа Мандельброта, Бориса Чирікова, Якова Синая, Олександра Шарковського, Олександра Ляпунова, Джеймса Йорка та Мітчела Файгенбаума.

Історія

Першим дослідником хаосу був Анрі Пуанкаре. У 1880-х роках, при вивченні поведінки системи з трьома тілами, що взаємодіють гравітаційно, він зауважив, що можуть існувати неперіодичні орбіти, які постійно і не віддаляються, і не наближаються до конкретної точки. У 1898 році Жак Адамар видав впливову роботу про хаотичний рух вільної частинки, що ковзає без тертя по поверхні постійної від'ємної кривини. У своїй роботі «більярд Адамара» він довів, що всі траєкторії непостійні і частки в них відхиляються одна від одної з додатним показником Ляпунова.

Майже вся більш рання теорія, під назвою ергодичної теорії, була розроблена тільки математиками. Пізніше нелінійні диференціальні рівняння вивчали Біркгоф, A. Колмогоров, M. Каретник, Дж. Літлвуд і Стівен Смейл. Крім Смейла, на вивчення хаосу всіх їх надихнула фізика: поведінка трьох тіл у випадку з Біркгофом, турбулентність і астрономічні дослідження у випадку з Колмогоровим, радіотехніка у випадку з Каретником і Літлвудом. Хоча хаотичний планетарний рух не вивчався, експериментатори зіткнулися з турбулентністю течії рідини і неперіодичними коливаннями в радіосхемах, не маючи достатньої теорії, щоб це пояснити.

Незважаючи на спроби зрозуміти хаос у першій половині 20 століття, теорія хаосу як така почала формуватися лише з середини століття. Тоді для деяких вчених стало очевидно, що лінійна теорія, яка переважала в той час, просто не може пояснити деякі спостережувані експерименти подібно до логістичного відображення. Щоб заздалегідь виключити неточності при вивченні, прості «перешкоди» у теорії хаосу вважали повноцінною складовою досліджуваної системи.

Основним каталізатором для розвитку теорії хаосу стала електронно-обчислювальна машина. Значна частина математики в теорії хаосу виконує повторну ітерацію простих математичних формул, що робити вручну дуже трудомістко. Електронно-обчислювальні машини робили такі повторні обчислення досить швидко, тоді як малюнки і зображення дозволяли візуалізувати ці системи.

Одним з піонерів у теорії хаосу був Едвард Лоренц, інтерес якого до хаосу з'явився випадково, коли він працював над прогнозом погоди в 1961 році. Погодне моделювання Лоренц виконував на простому цифровому комп'ютері McBee LGP-30. Коли він захотів побачити всю послідовність даних, то, щоб заощадити час, він запустив моделювання з середини процесу, ввівши дані з роздруківки, які він обчислив у минулий раз. На його подив погода, яку машина почала пророкувати, повністю відрізнялася від погоди, розрахованої раніше. Лоренц звернувся до комп'ютерної роздруківки. Комп'ютер працював з точністю до 6 цифр, але роздруківка округлила змінні до 3 цифр, наприклад значення 0,506127 було надруковано як 0,506. Ця несуттєва відмінність не повинно була мати фактично ніякого ефекту. Однак Лоренц виявив, що найменші зміни в первісних умовах викликають великі зміни в результаті. Відкриттю дали ім'я Лоренца і воно довело, що метеорологія не може точно передбачити погоду на період більше тижня.

Роком раніше, Бенуа Мандельброт знайшов повторювані зразки у кожній групі даних про ціни на бавовну. Він вивчав теорію інформації і зробив висновок, що структура перешкод подібна : в будь-якому масштабі пропорція періодів з перешкодами до періодів без них була постійною — отже помилки неминучі і мають бути заплановані. Мандельброт описав два явища: «ефект Ноя», який виникає, коли відбуваються раптові переривчасті зміни, наприклад, зміна цін після поганих новин, і «ефект Йосифа» у якому значення постійні деякий час, але все ж раптово змінюються згодом. У 1967 році він опублікував роботу «Якої довжини узбережжя Великої Британії? Статистичні дані подібностей і відмінностей у вимірах», доводячи, що дані про довжину берегової лінії змінюються в залежності від масштабу вимірювального приладу. Він стверджував, що клубок мотузки здається точкою, якщо його розглядати здалеку (0-вимірний простір), він же буде клубком або кулею, якщо його розглядати досить близько (3-вимірний простір) або може виглядати замкнутою кривою лінією зверху (1-вимірний простір). Він довів, що дані вимірювання об'єкта завжди відносні і залежать від точки спостереження.

Об'єкт, зображення якого є постійними в різних масштабах («самоподібність») є фракталом (наприклад, крива Коха, або «сніжинка»). У 1975 році Мандельброт опублікував роботу «Фрактальна геометрія природи», яка стала класичною теорією хаосу. Деякі біологічні системи, такі як система кровообігу і бронхіальна система, підходять під опис фрактальної моделі.

Явища хаосу спостерігали багато експериментаторів ще до того, як його почали досліджувати. Наприклад, у 1927 році Ван дер Пол, а в 1958 році П. Івес. 27 листопада 1961 року Й. Уеда, будучи аспірантом в лабораторії Кіотського університету, помітив деяку закономірність і назвав її «випадкові явища перетворень», коли експериментував з аналоговими обчислювальними машинами. Тим не менш, його керівник не погодився тоді з його висновками і не дозволив йому представити свої висновки громадськості до 1970 року.

У грудні 1977 року Нью-Йоркська академія наук організувала перший симпозіум з теорії хаосу, який відвідали Девід Руелл, Роберт Мей, Джеймс А. Іорк, , Й. Даян Фермер, Норман Пакард і метеоролог Едвард Лоренц.

В наступному році Мітчелл Фейгенбаум видав статтю «Кількісна універсальність для нелінійних перетворень», де він описав логістичні відображення. М. Фейгенбаум застосував рекурсивну геометрію до вивчення природних форм, таких як берегові лінії. Особливість його роботи у тому, що він встановив універсальність в хаосі і застосовував теорію хаосу до багатьох явищ (див. Константи Фейгенбаума).

У 1979 році Альберт Дж. Либчейбр на симпозіумі в Осині представив свої експериментальні спостереження каскаду роздвоєння, який веде до хаосу. Його нагородили премією Вольфа у фізиці спільно з Мітчеллом Дж. Фейгенбаумом у 1986 році «за блискучу експериментальну демонстрацію переходів до хаосу в динамічних системах».Тоді ж у 1986 році Нью-Йоркська Академія Наук разом з національним Інститутом Мозку і центром Військово-морських досліджень організували першу важливу конференцію з хаосу в біології і медицині. Там Бернардо Уберман продемонстрував математичну модель ока і порушень його рухливості серед шизофреніків. Це призвело до широкого застосування теорії хаосу в фізіології у 1980-х роках, наприклад, у вивченні патології серцевих циклів.

У 1987 році Пер Бак, Прат Тан і Курт Вісенфелд надрукували статтю в газеті, де вперше описали систему самодостатності (СС), яка є одним з природних механізмів. Багато досліджень тоді були сконцентровані навколо великомасштабних природних або соціальних систем. CC стала сильним претендентом на пояснення безлічі природних явищ, включно з землетрусами, сонячними сплесками, коливаннями в економічних системах, формуванням ландшафту, лісовими пожежами, зсувами, епідеміями й біологічною еволюцією.

Зважаючи на нестабільний і безмасштабний розподіл випадків виникнення, не дивно, що деякі дослідники запропонували розглянути як приклад CC виникнення воєн. Ці «прикладні» дослідження включали в себе дві спроби моделювання: розробка нових моделей і пристосування наявних до даної природної системи.

У тому ж році Джеймс Глеїк видав роботу «Хаос: створення нової науки», яка стала бестселером і представила широкій публіці загальні принципи теорії хаосу і її хронологію. Теорія хаосу прогресивно розвивалася як міжпредметна та університетська дисципліна, головним чином під назвою «аналіз нелінійних систем». Спираючись на концепцію Томаса Куна про зміну парадигм, багато вчених-хаотиків" (так вони самі назвали себе) стверджували, що ця нова теорія і є прикладом зсуву.

Доступність дешевих і потужніших комп'ютерів розширює можливості застосування теорії хаосу. В даний час теорія хаосу продовжує бути дуже активною галуззю досліджень, залучаючи багато різних дисциплін (математика, топологія, фізика, біологія, метеорологія, астрофізика, теорія інформації і т. д.).

Основні відомості Теорія хаосу стверджує, що складні системи надзвичайно залежні від початкових умов, і невеликі зміни в навколишньому середовищі можуть призвести до непередбачуваних наслідків.

Математичні системи з хаотичною поведінкою є детермінованими, тобто підпорядковуються деякому строгому закону, та, в деякому розумінні, є впорядкованими. Таке використання слова «хаос» відрізняється від його звичайного значення (див. хаос у міфології). Окрема галузь фізики — теорія квантового хаосу — вивчає недетерміновані системи, що підкоряються законам квантової механіки.

Піонерами теорії вважаються французький фізик і філософ Анрі Пуанкаре (довів теорему про повернення), радянські математики А. М. Колмогоров і В. І. Арнольд і німецький математик Ю. К. Мозер, які побудували теорію хаосу, звану КАМ (теорія Колмогорова — Арнольда — Мозера). Теорія вводить поняття атракторів (зокрема, дивних атракторів як притягувальних канторових структур), стійких орбіт системи (т. зв. КАМ-торів).

Поняття хаосу

У побутовому контексті слово «хаос» означає «перебування в стані безладу». У теорії хаосу прикметник хаотичний визначено більш точно. Хоча загальноприйнятого універсального математичного визначення хаосу немає, зазвичай використовуване визначення говорить, що динамічна система, яка класифікується як хаотична, повинна мати такі властивості:

Вона повинна бути чутлива до початкових умов. Вона повинна мати властивість топологічного змішування. Її періодичні орбіти повинні бути всюди щільними.

Більш точні математичні умови виникнення хаосу мають такий вигляд: Система повинна мати нелінійні характеристики, бути глобально стійкою, але мати хоча б одну нестійку точку рівноваги коливального типу, при цьому .

Лінійні системи ніколи не бувають хаотичними. Для того, щоб динамічна система була хаотичною, вона повинна бути нелінійною. За теоремою Пуанкаре — Бендиксона, неперервна динамічна система на площині не може бути хаотичною. Серед неперервних систем хаотичну поведінку мають тільки неплоскі просторові системи (обов'язкова наявність не менше трьох вимірів або неевклідова геометрія). Однак дискретна динамічна система на якійсь стадії може виявити хаотичну поведінку навіть в одновимірному або двовимірному просторі.

Чутливість до початкових умов Чутливість до початкових умов у такій системі означає, що всі точки, спочатку близькі між собою, в майбутньому мають траєкторії, що дуже відрізняються. Див. Стійкість динамічних систем.