Ки́лим Серпі́нського — це плоский фрактал, вперше описаний Вацлавом Серпінським в 1916 роціW. Sierpinski. Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoquet et continue detoute courbe donnée. //Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paris. – Tome 162, Janvier - Juin 1916. - Pp. 629 – 632. - . Килим є одним із прикладів множини Кантора у двох вимірах (у більших вимірах — хмари Кантора). Серпінський продемонстрував, що цей фрактал є універсальною кривою, де будь-який можливий одновимірний граф, спроектований на двовимірну площину, гомеоморфний до підмножини серветки Серпінського. Для кривих, які не можуть бути зображені на двовимірній поверхні без самоперетинань, відповідна універсальна крива — губка Менгера, узагальнення для більших вимірів.
Побудова
Побудова килима Серпінського починається із квадрата. Квадрат розрізається на 9 конгруентних підквадратів, що утворюють сітку три на три, і центральний підквадрат видаляється. Та ж процедура нескінченно рекурсивно застосовується до вісьмох квадратів, що залишилися. На ілюстрації нижче показані перші ітерації процесу побудови.
Килим Серпінського:Фаза 0Фаза 1Фаза 2Фаза 3Фаза 4Фаза 5
має розмірність Гаусдорфа . Як наслідок, міра Лебега дорівнює нулю.
Броунівський рух на килимі Серпінського
Тема броуновського руху на килимі Серпінського в останні роки привернула науковий інтерес. Мартін Барлоу й Річард Басс показали, що випадкове блукання на килимі Серпінського поширюється з меншою швидкістю ніж необмежене випадкове блукання на площині. Для останнього випадку середня відстань пропорційна n1/2 після «n» кроків, а випадкове блукання на дискретному килимі Серпінського дає середню відстань, пропорційну n1/β для деякого β > 2. Мартін Барлоу й Річард Басс також показали, що це випадкове блукання задовольняє сильнішим нерівностям великого відхилення (так званим «субгаусовим нерівностям») і задовольняє овальній нерівності Харнака, при цьому не задовольняючи параболічній. Існування цього прикладу було відкритою проблемою багато років.
Комп'ютерна програма
Наступний Java-аплет малює килим Серпінського за допомогою методу, що рекурсивно викликає себе:
import java.awt.*; import java.applet.*;
public class SierpinskiCarpet extends Applet { private Graphics g=null; private int d0=729; // 3^6
public void init() { g=getGraphics(); resize(d0,d0);
public void paint(Graphics g) { // start recursion: drawSierpinskiCarpet ( 0, 0, getWidth(), getHeight() );
private void drawSierpinskiCarpet(int xTL, int yTL, int width, int height) { if (width>2 && height>2) { int w=width/3, h=height/3; g.fillRect ( xTL+w, yTL+h, w, h ); for (int k=0;k<9;k++) if (k!=4) { int i=k/3, j=k%3; drawSierpinskiCarpet ( xTL+i*w, yTL+j*h, w, h ); // recursion
Див. також Трикутник Серпінського Губка Менгера Крива Серпінського
Примітки
Посилання Variations on the Theme of Tremas II