Диспе́рсія () — це міра розсіяння значень випадкової величини відносно середнього значення розподілу. Більші значення дисперсії свідчать про більші відхилення значень випадкової величини від центру розподілу.
У простому розумінні, дисперсія дозволяє виміряти наскільки далеко випадкові значення розподілені від їх середнього значення. Дисперсія відіграє важливу роль в статистиці, в якій вона використовується в таких напрямах як описова статистика, статистичне висновування, перевірка статистичних гіпотез, допасованість і Метод Монте-Карло.
Дисперія позначається як , , або . Такі записи обгрунтовані тим, що дисперсія дорівнює квадрату стандартного відхилення (, ). А також англійською має назу variance ().
Дисперсія є другим центральним моментом розподілу, і коваріацією випадкової величини із самою собою.
Вступ
Приклади
Дисперсія випадкової величини — це один з параметрів розподілу ймовірностей — це середньоквадратичне відхилення від середнього значення. Інакше кажучи, це математичне сподівання квадрату відхилення цієї змінної від її очікуваного значення (її математичного сподівання). Отже дисперсія є вимірюванням величини розпорошеності значень цієї змінної, беручи до уваги всі її значення і їхні ймовірності або ваги.
Наприклад, якщо підкинути ідеальний гральний кубик, то очікуване значення (математичне сподівання) буде дорівнювати:
Очікуване середнє абсолютне відхилення таке:
Але очікуване квадратичне відхилення таке:
Якщо монету підкинути двічі, кількість аверсів становить: 0 з імовірністю 0.25, 1 з імовірністю 0.5 і 2 з імовірністю 0.25. Отже, очікування кількості аверсів таке:
і дисперсія така:
Означення Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання (середнього значення). Дисперсія є центральним моментом другого порядку.
Нехай випадкова змінна може набувати значення відповідно з ймовірностями причому .
Дисперсія дискретної випадкової величини має такий вигляд:
, де — стандартне відхилення величини від її середнього значення ;
— оператор дисперсії випадкової величини.
Якщо випадкова величина задана густиною імовірності, тоді дисперсія виглядає так:
, де , тобто це середнє значення величини ;
— функція густини імовірності.
Теореми Дисперсія являє собою різницю математичного очікування квадрата випадкової величини і квадрата середнього значення цієї величини: .
Теорема Чебишова: Ймовірність будь-якої випадкової величини , яка набуває значення в границях стандартних відхилень від середнього значення , не менше , тобтоWalpole Roland E., Myers Raymond H. Probability and Statistics for Engineers and Scientists. — 3-th. edition, Macmillan Publishing Company. — New York, 1985. — 639 p. — ISBN 0-02-424170-9.
.
Властивості
Основні властивості Дисперсія випадкової змінної є невід'ємною величиною, оскільки число піднесене в квадрат може бути додатнім або нулем:
Дисперсія сталої величини дорівнює нулю, тобто , де , а якщо дисперсія випадкової величини у наборі даних дорівнює 0, тоді всі входження цього набору мають однакове значення:
Дисперсія є інваріантною до змін коефіцієнту зсуву. Таким чином, додавання константи до значень випадкової величини не змінює дисперсії:
Якщо всі значення випадкової величини помножено на константу, дисперсія буде помножена на квадрат цієї константи. Тобто константу можна виносити в квадраті за знак дисперсії:
Дисперсія суми двох випадкових величин дорівнюватиме
де — коваріація. У загальному випадку для суми випадкових величин :
Ці результати приводять до результату, що дисперсія для лінійної комбінації величин є наступною:
Якщо випадкові величини є такими, що
говорять, що вони є некорельованими. Це випливає на пряму із виразу описаного раніше, яке говорить про те, що якщо випадкові величини є некорельованими, тоді дисперсії їх суми дорівнює сумі дисперсій. Символічно це виглядає наступним чином:
Оскільки незалежні випадкові величини завжди є некорельованими, вищенаведене рівняння є дійсним зокрема для випадку, коли випадкові величини незалежні. Таким чином, незалежність є достатньою але не необхідною умовою, для того щоб дисперсія суми величин дорівнювала сумі дисперсій.
Сума некорельованих випадкових величин (формула Бієнайме)
Однією з переваг використання дисперсії перед іншими мірами варіабельності є те, що дисперсія суми (або різниці) некорельованих випадкових величин:
Цей вираз має назву — формула Loeve, M. (1977) «Probability Theory», Graduate Texts in Mathematics, Volume 45, 4th edition, Springer-Verlag, p. 12. і був відкритий в 1853.Bienaymé, I.-J. (1853) «Considérations à l'appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés», Comptes rendus de l'Académie des sciences Paris, 37, p. 309–317; digital copy available Bienaymé, I.-J. (1867) «Considérations à l'appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Série 2, Tome 12, p. 158–167; digital copy available Її зазвичай формулюють із більш суворою вимогою, що випадкові величини повинні бути незалежними, але достатньою умовою є те, що величини є некорельованими. Таким чином, якщо всі змінні мають однакову дисперсію σ2, тоді, оскільки ділення на n є лінійним перетворенням, ця формула одразу дозволяє визначити, що дисперсії їх середніх значень становить:
Таким чином, дисперсія середнього зменшується із збільшенням n. Ця формула дисперсії середнього використовується у визначенні стандартної похибки для вибіркового середнього, що використовується у центральній граничній теоремі.
Аби довести початковий вираз, достатньо показати що
У загальному результаті за цим слідує індуктивний вивід. Починаючи із визначення,
Використавши лінійність оператора мат. сподівання і припущення про незалежність (або відсутність кореляції) величин X і Y, далі цей вираз спрощується наступним чином:
Сума корельованих змінних
У загальному випадку, якщо випадкові величини корельовані, тоді дисперсія їх суми дорівнює сумі їх коваріацій:
(Примітка: Друга рівність отримана із факту, що .)
В даній формулі позначає коваріацію, що дорівнює нулю для незалежних випадкових величин (за умови якщо вона існує). Ця формула стверджує, що варіація суми величин дорівнює сумі всіх елементів матриці коваріації їх компонент. Другий вираз стверджує еквівалентне, що дисперсія суми величин дорівнює сумі діагональних елементів матриці коваріацій плюс доданій подвійній сумі елементів її верхньої трикутної половини (або елементів із нижнього трикутника матриці); це випливає з того, що матриця коваріацій є симетричною відносно її діагоналі. Ця формула використовується у теорії альфа Кронбаха із класичної теорії випробувань.
Якщо випадкові величини мають однакову дисперсію σ2 а середнє значення кореляції окремих величин дорівнює ρ, тоді дисперсія їх середніх значень дорівнюватиме
Ця формула визначає, що дисперсія середнього збільшується із збільшенням середнього значення кореляцій. Іншими словами, додавання корельованих спостережень не є настільки ефективним як додавання незалежних спостережень для зменшення стандартної похибки. Крім того, якщо випадкові величини мають одиничну дисперсію, наприклад, якщо їх зведено до стандартних параметрів, тоді цей вираз спрощується до наступного
Ця формула використовується у із класичної теорії випробувань. Цей вираз збігається до ρ якщо n прямує до нескінченності, за умови що середня кореляція залишається сталою або збігається до якогось значення також. Таким чином для дисперсії середнього стандартизованих випадкових величин із однаковими кореляціями або збіжною середньою кореляцією маємо наступне:
Тому, дисперсія середнього значення для великої кількості стандартизованих величин приблизно дорівнює їх середній кореляції. Із цього стає очевидним, що вибіркове середнє корельованих величин в загальному випадку не збігається до середнього сукупності, навіть зважаючи на те, що закон великих чисел стверджує, що вибіркове середнє буде збіжним у випадку незалежних випадкових величин.
Матрична нотація для дисперсії лінійної комбінації величин
Визначимо величину у вигляді вектора стовпця із випадкових величин , і у вигляді вектора стовпця із скалярних значень . Таким чином, є лінійною комбінацією цих випадкових величин, де позначає операцію транспонування вектора . Також нехай є коваріаційною матрицею величини . Дисперсія для буде задаватися наступним чином:
Зважена сума величин
Властивість масштабованості і формула Бієнайме, разом із властивістю коваріації визначають наступне:
Це означає, що для зваженої суми випадкових величин, величина із найбільшою вагою матиме непропорційне великих вплив на загальну дисперсію. Наприклад, якщо X і Y є некорельованими величинами, а вага X в двічі більша за вагу величини Y, тоді вага дисперсії величини X буде в чотири рази більше за вагу дисперсії величини Y.
Цей вираз можна узагальнити для випадку зваженої суми багатьох величин:
Добуток незалежних величин
Якщо дві величини X і Y — незалежні, дисперсія їх добутку буде дорівнювати:
Еквівалентно, використавши основні властивості сподівання, можна отримати
Добуток статистично залежних величин
У загальному випадку для двох випадкових величин, що мають статистичну залежність, дисперсія їх добутку дорівнюватиме:
Декомпозиція
Загальна формула для декомпозиції дисперсії або визначається наступним чином: Якщо і дві випадкові величини, і дисперсія величини існує, тоді
де — умовне математичне сподівання величини за умови , а — умовна дисперсія величини за умови . (Більш інтуїтивно зрозумілим поясненням, є те що при певному значенні , за яким слідує матиме розподіл із середнім і дисперсією ). Оскільки є функцією величини , зовнішнє очікування дисперсії у виразі береться відносно Y. Вищенаведена формула визначає як знайти на основі розподілів цих двох величини, коли може змінюватися.
Зокрема, якщо — дискретна випадкова величина, що припускає із відповідними масами імовірностей , тоді у формулі загальної дисперсії, перший терм в правій частині виразу буде наступним:
де . Аналогічним чином, другий терм в правій частині стане наступним:
де і . Таким чином, загальна дисперсія буде задаватися виразом
Подібна формула застосовується у дисперсійному аналізі, де вона відповідно є наступною
тут відноситься до середньо квадратичного. Відповідна формула у аналізі лінійної регресії наступна:
Цей вираз також можна отримати із адитивності дисперсій, оскільки загальна (спостережувана) оцінка є сумою передбачених оцінок і оцінок похибок, де останні є некорельованими.
Аналогічна декомпозиція є можливою для суми квадратичних відхилень (суми квадратів, ):
Формули для дисперсії Формула що найчастіше використовується для отримання дисперсії теоретичних розподілів є наступною:
Цей вираз є корисним, коли є можливість отримати формули для математичного сподівання і для математичного сподівання в квадраті.
Ця формула часто використовується по відношенню і до вибіркової дисперсії. Хоча її можна застосувати для ручних розрахунків, її не рекомендують застосовувати для комп'ютерних розрахунків, оскільки такий розрахунок призводить до катастрофічної втрати точності коли два компоненти рівняння є близькими за величиною і до них застосовуються арифметичні операції з плавучою точкою. Докладніше це описане в статті .
Розрахунок із функції розподілу імовірностей
Дисперсію сукупності для не від'ємної випадкової велчини можливо отримати за допомогою кумулятивної функції розподілу F наступним чином:
Цей вираз можна використовувати для розрахунку дисперсії у випадках, коли можливо отримати зручний аналітичний вираз для функції розподілу, але не можливо отримати його для функції густини імовірності.
Момент