Конкурентні прямі — прямі на площині або у просторі вищих вимірів, що перетинаються в єдиній точці.

Сукупність усіх прямих, що проходять через точку, називається пучком, а спільна точка їх перетину — вершиною пучка.

У будь-якому афінному просторі (включаючи евклідів простір) множина прямих, паралельних даній прямій (з однаковим напрямком) також називається пучком, а вершина кожного пучка паралельних прямих є окремою точкою на нескінченності; врахування цих точок створює проєктивний простір, в якому кожна пара прямих має перетин.

Приклади

Трикутники

У трикутнику є чотири основні типи множин паралельних ліній: висоти, бісектриси кутів, медіани, та перпендикулярні бісектриси:

Висоти трикутника виходять від кожної вершини і перетинають протилежну сторону під прямим кутом. Точка, де перетинаються три висоти, є ортоцентром. Бісектриси кутів — це промені, що виходять з кожної вершини трикутника і ділять відповідний кут навпіл. Всі вони перетинаються в центрі вписаного кола. Медіани з'єднують кожну вершину трикутника з серединою протилежної сторони. Три медіани перетинаються в центроїді. Перпендикулярні бісектриси — це лінії, що виходять із середин кожної сторони трикутника під кутом 90 градусів. Три перпендикулярні бісектриси перетинаються в центрі описаного кола.

Існують інші множини ліній, пов'язані з трикутником, які також є конкурентними. Наприклад:

Будь-яка медіана (яка обов'язково є бісектрисою площі трикутника) конкурентна з двома іншими бісектрисами площі, кожна з яких паралельна стороніDunn, J. A., and Pretty, J. E., "Halving a triangle", 56, May 1972, 105—108.. Клівер трикутника — це відрізок, який ділить периметр трикутника навпіл, і один кінець якого знаходиться в середині однієї з трьох сторін. Три клівери перетинаються в центрі , яке є вписаним колом середнього трикутника. трикутника — це відрізок, один кінець якого знаходиться в одній з трьох вершин трикутника і ділить периметр навпіл. Три спліттера перетинаються в точці Наґеля трикутника. Будь-яка лінія, яка ділить площу трикутника та його периметр навпіл, проходить через центр вписаного кола, і в кожному трикутнику є одна, дві або три такі лініїKodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers", 83, April 2010, pp. 141—146.. Таким чином, якщо їх три, вони перетинаються в центрі вписаного кола. трикутника — це точка перетину прямих, що проходять через вершини трикутника перпендикулярно до відповідних сторін першого цього трикутника. трикутника — це точка перетину ліній Ейлера чотирьох трикутників: цього трикутника та трьох трикутників, кожен з яких має дві спільні з ним вершини і центр вписаного кола як третю вершину. Точки Наполеона та їх узагальнення є конкурентними точками. Наприклад, перша точка Наполеона є точкою перетину трьох ліній, кожна з яких проходить від вершини до центроїда рівностороннього трикутника, побудованого на зовнішній стороні трикутника, протилежній цій вершині. Узагальненням цього поняття є .  — точка перетину кількох прямих з лінією Ейлера. Три лінії, кожна з яких утворена побудовою зовнішнього рівностороннього трикутника на одній зі сторін вихідного трикутника та з'єднанням нової вершини з протилежною вершиною вихідного трикутника, є конкурентними в точці, яка називається першим ізогональним центром. У випадку, коли вихідний трикутник не має кута більше 120°, ця точка також є точкою Ферма. Точка Аполлонія — це точка перетину трьох прямих, кожна з яких сполучає точку дотику кола, до якого дотикається з внутрішнього боку зовнівписане коло трикутника, з протилежною вершиною трикутника.

Чотирикутники Дві бімедіани чотирикутника (відрізки, що з'єднують середини протилежних сторін) і відрізок, що з'єднує середини діагоналей, є конкурентними та поділяються навпіл точкою перетину. В описаному чотирикутнику, чотири бісектриси кута перетинаються в центрі вписаного колаAndreescu, Titu and Enescu, Bogdan, Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser, 2006, pp. 64–68.. Опис інших конкурентних ліній описаного чотирикутника наведено тут. У вписаному чотирикутнику, чотири відрізки лінії, кожен з яких перпендикулярний до однієї сторони та проходить через середину протилежної сторони, є конкурентними. Ці відрізки лінії називаються , що є абревіатурою для висоти середньої точки (). Їх спільна точка називається антицентром. Опуклий чотирикутник є зовні-описаним тоді і тільки тоді, коли існує шість конкурентних бісектрис кутів: бісектриси внутрішніх кутів, які відповідають двом протилежним вершинам, бісектриси зовнішніх кутів, які відповідають двом іншим вершинам, і бісектриси зовнішніх кутів, утворених в точках перетину продовження протилежних сторін.

Шестикутники Якщо послідовними сторонами циклічного шестикутника є a, b, c, d, e, f, то три головні діагоналі перетинаються в одній точці тоді і тільки тоді, коли Cartensen, Jens, «About hexagons», Mathematical Spectrum 33(2) (2000—2001), 37-40.. Якщо шестикутник має вписаний конічний перетин, то за теоремою Бріаншона його головні діагоналі є конкурентними. Конкурентні прямі виникають у дуальній теоремі Паппа. Якщо для кожної сторони циклічного шестикутника продовжити суміжні сторони до їх перетину, то з зовнішнього боку цієї сторони утворюється трикутник. Тоді відрізки, що з'єднують центри описаних кіл протилежних трикутників, є конкурентнимиNikolaos Dergiades, «Dao's theorem on six circumcenters associated with a cyclic hexagon», Forum Geometricorum 14, 2014, 243—246. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424index.html.

Правильні многокутники Якщо правильний многокутник має парну кількість сторін, діагоналі, що з'єднують протилежні вершини, перетинаються в центрі многокутника.

Кола Перпендикулярні бісектриси всіх хорд кола конкурентні в центрі кола. Прямі, перпендикулярні дотичним до кола в точках дотику, конкурентні в центрі кола. Всі бісектриси площі та бісектриси периметра кола є діаметрами, і вони конкурентні в центрі кола.

Еліпси Усі бісектриси площі та бісектриси периметра еліпса конкурентні в центрі еліпса.

Гіперболи У гіперболі Гіпербола (математика) конкурентними є: (1) коло, що проходить через фокуси гіперболи з центром у центрі гіперболи; (2) кожна з дотичних до гіперболи у вершинах; і (3) будь-яка з асимптот гіперболи. Так само є конкурентними: (1) коло з центром у центрі гіперболи, яке проходить через вершини гіперболи; (2) будь-яка директриса; і (3) будь-яка з асимптот.

Чотиригранники У чотириграннику, всі чотири медіани та три бімедіани збігаються в точці, яка називається центроїдом чотиригранникаLeung, Kam-tim; and Suen, Suk-nam; «Vectors, matrices and geometry», Hong Kong University Press, 1994, pp. 53-54. Ізодинамічний чотиригранник — це чотиригранник, в якому чевіани, що з'єднують вершини з центрами вписаних кіл протилежних граней, є конкурентними, а ізогонічний чотиригранник має конкурентні чевіани, які з'єднують вершини з точками контакту протилежних граней із вписаною сферою чотиригранника. В чотири висоти є конкурентними.

Алгебра

Згідно з теоремою Кронекера-Капеллі, система рівнянь є тоді і тільки тоді, коли ранг дорівнює рангу розширеної матриці (матриці коефіцієнтів, доповненої стовпчиком з точками перетину), і система має єдиний розв'язок тоді і тільки тоді, коли цей загальний ранг дорівнює кількості змінних. Отже, з двома змінними на площині, k прямих, асоційованих з множиною k рівнянь, є конкурентними тоді і тільки тоді, коли ранг k × 2 матриці коефіцієнтів і ранг розширеної k × 3 матриці дорівнюють 2. У цьому у випадку лише два з k рівнянь , і точку перетину можна знайти, розв'язуючи будь-які два взаємно незалежні рівняння одночасно для двох змінних.

Проєктивна геометрія

У проективній геометрії у двох вимірах конкурентність є дуальною колінеарності; у трьох вимірах конкурентність є дуальною компланарності.

Див. також Теорема Чеви

Примітки

Посилання Wolfram MathWorld Concurrent, 2010.