Ме́тод Ві́нера — Го́пфа () — метод розв'язування інтегральних рівнянь спеціального типу, що широко використовується в прикладній математиці. Рівняннями Вінера — Гопфа називаються лінійні інтегральні рівняння з різницевим ядром типу
де — невідома функція; , — відомі функції, — параметри. При називається рівнянням Вінера-Гопфа 1-го роду, при називається рівнянням Вінера-Гопфа 2-го роду. Метод розроблений Норбертом Вінером і Ебергардом Гопфом у 1931 році.
Метод Для розвя’язування вводяться т. зв. однобічні функції та , що дорівнюють и при x>0 і рівні 0 при x<0, та функція , що дорівнює 0 при x>0. Введення однобічних функцій дозволяє звести інтеграл в цьому рівнянні до інтеграла типу згортки . Таким чином, за допомогою односторонніх функцій область визначення рівняння продовжується на від’ємну піввісь. Застосовуючи перетворення Фур'є , отримуємо лінійне рівняння з двома невідомими функціями. Для рівняння-образу
розв’язується крайова задача Рімана, тобто визначаються функції і . Розв’язком інтегрального рівняння буде оберненим перетворенням Фур'є функції : .
Застосування Цей метод був розроблений для задачі про дифракцію хвиль на півплощині, знайшов застосування в теорії хвилеводів, в задачах про дифракцію хвиль і перенесення випромінювання. Рівняння ж було отримане при вирішенні задачі радіаційної рівноваги всередині зірок. Також використовується в кібернетиці, при вирішенні задачі виділення, фільтрації корисного сигналу з його суміші з шумом.
Література Физическая энциклопедия / гл. ред. А. М. Прохоров. — : Сов.энциклопедия, 1988. Винер Н. Я — математик. — : Наука, 1964. — 353 с. : ил. Гл. 6. Творческие успехи и радости. 1927—1931 (с. 120—143). Самойленко В. И., Пузырёв В. А., Грубрин И. В. Техническая кибернетика : учеб. пособие. — : Изд-во МАИ, 1994. — 280 с. : ил. — ISBN 5-7035-0489-9. Гл. 3. Синтез линейных систем. Оптимальные системы (с. 60—63). П. 3.3. Оптимизация систем по критерию МСКО. Уравнения Винера — Хопфа. Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям. Методы решения. — : Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — ISBN 5-88688-046-1. Гл. 5. Методы решения интегральных уравнений. П. 5.9—1. Уравнение Винера — Хопфа второго рода. Мышкис А. Д. Математика для технических вузов : спец. курсы. — 2-е изд. — : Лань, 2002. — 640 с. — ISBN 5-8114-0395-X. Гл. 7: Интегральные уравнения. П. 4: Некоторые специальные классы уравнений. П. 8. Уравнение Фредгольма с разностным ядром на полуоси.