Парадокс Буралі-Форті у теорії множин демонструє, що припущення про існування множини всіх порядкових чисел веде до суперечностей, а отже, суперечливою є теорія, у якій побудова такої множини можлива (1897).
Формулювання
У математичній літературі зустрічаються різні формулювання, що спираються на різну термінологію і можливий набір відомих теорем. Ось одне з можливих формулювань.
Припустимо, що — множина усіх порядкових чисел, тоді множина-сума ∑() зберігає властивості порядкового числа і є порядковим числом. Уявімо деяке число ∑() + 1; тоді (∑() + 1) > ∑(). Проте оскільки ∑() є порядковим числом і зберігає властивості порядкових чисел, то ∑() + 1 є елементом , а отже (∑() + 1) < ∑(). Це твердження суперечить встановленій нами раніше нерівності (∑() + 1) > ∑(), тому усе твердження є суперечливим, а отже, суперечливою є і теорія, що допускає таке твердження.
Історія
Парадокс був виявлений в 1897 році і виявився одним із перших парадоксів, які показали, що наївна теорія множин суперечлива, а отже, непридатна для потреб математики. Неіснування безлічі всіх порядкових чисел суперечить концепції наївної теорії множин, яка дозволяє побудову множин із довільною властивістю елементів, тобто термів виду «множина всіх таких, що » ().
Сучасна аксіоматична теорія множин накладає суворі обмеження на вид умови , за допомогою якої можна утворювати множини. У аксіоматичних системах типу Геделя — Бернайса дозволяється вираження терми для довільних , але із застереженням, що він може виявитися не множиною, а класом.
Див. також Парадокс Кантора Парадокс Расселла
Джерела