Бет, — друга літера гебрайської абетки. Пишеться ב. Має числове значення (гематрію) 2.
ב ב
__TOC__
Бет в теорії множин
В теорії множин символ (читається «бет один») позначає потужність множини, яка рівна . Відповідно, існують символи , и так далі. Більш докладно — статті про потужність множин.
Зв'язок з алеф номером Припускаючи, що аксіома вибору нескінченної потужності лінійно впорядкована, то немає двох потужностей які не можуть бути порівняні. Таким чином, оскільки, за визначенням, не є нескінченними потужності між і випливає, що Повторюючи це міркування (див. трансфінітних індукції) отримуємо: для всіх ординалів . Континуум-гіпотеза еквівалентна
Узагальнення континуум-гіпотези стверджує, що послідовність чисел Бет визначена так само, як послідовність Алеф номерів, тобто для всіх порядкових чисел .
Визначення Для визначення числа Бет, припустимо
є потужність будь-якої зліченної нескінченної множини (для прикладу візьмемо множину з натуральних чисел). Позначимо P(A) булеан або множину всіх підмножин множини A. Тоді визначимо
яка є потужністю булеану А, якщо є потужністю А. Маючи це означення
є відповідно потужностями . Тоді друге число Бет дорівнює , потужності континууму, і третє число бет — потужність булеану континууму.
Тоді за Теоремою Кантора кожен набір в попередній послідовності має потужність строго більше, ніж попередній. Для нескінченних порядкових чисел λ відповідне число Бет визначається як верхня межа чисел Бет для всіх порядкових чисел строго менших за λ:
Окремі кардинальні числа
Бет-нуль Так як за означенням це є або алеф нуль, тоді множини з потужністю включають:
натуральні числа N раціональні числа Q алгебраїчні числа множину скінченних множин цілих чисел
Бет один Множини з потужностями включають в себе:
трансцендентні числа ірраціональні числа дійсні числа R комплексні числа C евклідовий простір Rn множину всіх підмножин множини натуральних чисел множину послідовностей цілих чисел (тобто всі функції N → Z, часто позначаються ZN) множину послідовностей дійсних чисел, RN множину всіх неперервних функцій з R на R множину скінченних підмножин дійсних чисел
Бет два також називають 2c. Множини з потужністю включають в себе:
множину всіх функцій з R на R (RR) множина всіх функцій з Rm на Rn