Матроїд — класифікація підмножин деякої множини, що являє собою узагальнення ідеї незалежності елементів, аналогічно незалежності елементів лінійного простору, на довільну множину.
Аксіоматичне визначення Матроїд — пара , де — скінченна множина, звана носієм матроїда, а — деяка множина підмножин , звана сімейством незалежних множин, тобто . При цьому повинні виконуватися наступні умови:
Якщо та , то Якщо і потужність A більша потужності B, то існує такий, що
Базами матроїда називаються максимальні по включенню незалежні множини. Підмножини , які не належать , називаються залежними множинами. Мінімальні по включенню залежні множини називаються циклами матроїда, це поняття використовується в альтернативному визначенні матроїда.
Визначення у термінах циклів
Матроїд — пара , де — носій матроїда, а — сімейство непустих підмножин , зване множиною Циклів матроїда, для яких виконуються наступні умови: Ф. Харарі Теорія графів стр. 57 Жоден цикл не є підмножиною іншого. Якщо , то містить цикл.
Визначення у термінах правильного замикання Нехай — частково впорядкована множина. — замикання в , якщо Для будь-якого x з P: Для будь-яких x,y з P: Для будь-якого x з P:
Розглянемо випадок, коли частково впорядкована множина — булева алгебра. Нехай — замикання. Замикання правильне (аксіома правильного замикання), якщо Для будь-якого існує таке , що
Пара , де — правильне замикання на , називається матроїдом.
Приклади
Універсальний матроїд Unk. Множина X має потужність n, незалежними множинами є підмножини потужністю не більше k. Бази — підмножини потужністю k. Матроїд циклів графу. Множина X — множина ребер графу, незалежні множини — ациклічні підмножини цих ребер, цикли — прості цикли графу. Базами є кістякові дерева графу. Матроїд називається 'графічним, якщо він є матроїдом циклів деякого графу Ф. Харарі Теорія графів стр. 186. Матроїд підмножин множини ребер графу, таких що видалення підмножини залишає граф зв'язним. Матроїд коциклів графу. Множина X — множина ребер, коцикли — мінімальні множини, видалення яких призводить до втрати зв'язності графу. Матроїд називається 'кографічним, якщо він є матроїдом коциклів деякого графу. Матричний матроїд. Сімейство всіх лінійно незалежних підмножин будь-якої скінченної множини векторів довільного непорожнього векторного простору є матроїдом.
Визначимо множину E, як таку, що складається з {1, 2, 3, .., n} — номерів стовпців деякої матриці, а множину I, як таку, яка складається з підмножин E, таких що вектори, які визначаються ними, є лінійно незалежними над полем дійсних чисел R. Виникає питання — якими властивостями володіє побудована множина I?
Множина I — непорожня. Навіть якщо вихідна множина E була б порожньою — E = ∅, то I буде складатися з одного елемента — множини, що містить порожню множину I = ∅. Будь-яка підмножина будь-якого елемента множини I також буде елементом цієї множини. Ця властивість зрозуміла — якщо деякий набір векторів лінійно незалежний над полем, то лінійно незалежним буде також будь-який його піднабір. Якщо A, B ∈ I, причому|A|=|B|+ 1, тоді існує елемент x ∈ A — B, такий що B ∪ {x} ∈ I.
Доведемо, що в розглянутому прикладі множина лінійно незалежних стовпців дійсно є матроїдом. Для цього достатньо довести третю властивість з визначення матроїда. Проведемо доведення методом від протилежного.
Доведення. Нехай A, B ∈ I і |A|=|B|+ 1. Нехай W буде простором векторів, які охоплюють A ∪ B. Зрозуміло, що його розмірність буде не меншою від |A|. Припустимо, що B ∪ {x} буде лінійно залежною для всіх x ∈ A — B (тобто третя властивість не буде виконуватися). Тоді B утворює базис у просторі W. З цього випливає, що|A|≤ dim W ≤|B|. Але, так як за умовою A і B складаються з лінійно незалежних векторів і |A|>|B|, одержуємо суперечність. Така множина векторів буде матроїдом.
Додаткові поняття Двоїстим до даного матроїду називається матроїд, носій якого збігається з носієм даного матроїда, а бази — з доповненням баз даного матроїда до носія. Тобто X* = X, а безліч баз двоїстого матроїда — це множина таких B*, що B* = X\B, де B — база даного матроїда. Циклом в матроїді називається така множина A ⊂ X, що A ∉ I, і для будь-якого B ⊂ A, якщо B ≠ A, то B ∈ I Рангом матроїда називається потужність його баз. Ранг тривіального матроїда дорівнює нулю.
Матроїд Фано
Матроїди з невеликим числом елементів часто зображують у вигляді діаграм. Точки — це елементи основної множини, а криві «протягнуті» через кожен трьохелементний ланцюг (3-element circuit). Діаграма показує 3-ранговий матроїд, званий матроїдом Фано, приклад якого з'явився в 1935 в статті Уїтні (Whitney).
Назва виникла з того факту, що матроїд Фано являє собою проективну площину другого порядку, відому як площина Фано, чиє координатне поле — це двохелементне поле. Це означає, що матроїд Фано — це векторний матроїд, пов'язаний з сімома ненульовими векторами в тривимірному векторному просторі над полем двох елементів.
З проективної геометрії відомо, що матроїд Фано не може бути представлений довільною множиною векторів в дійсному або комплексному векторному просторі (або в будь-якому векторному просторі над полем, характеристики якого відрізняються від 2).
Теореми Всі бази матроїда мають однакову потужність. Матроїд однозначно задається носієм і базами. Цикл не може бути підмножиною іншого циклу Якщо і — цикли, то для будь-якого містить цикл Якщо — база і , то містить рівно один цикл.
Застосування
Матроїди добре описують клас задач, які допускають «жадібне» рішення. Див. жадібний алгоритм Радо-Едмондса. Матроїди в комбінаторній оптимізації.
Див. також Орієнтований матроїд Критерій планарності Вітні
Примітки