У теорії ймовірностей існує декілька видів збіжності випадкових величин. Збіжність послідовності випадкових величин до деякої граничної випадкової величини має широке застосування у статистиці та теорії випадкових процесів.

Види збіжностей Збіжність за розподілом Збіжність за ймовірністю (за мірою) Збіжність майже напевно (майже всюди) Збіжність у середньому Властивості Схема зв'язків між збіжностями:

Список властивостей різних типів збіжностей: Із збіжності майже напевно випливає збіжність за ймовірністю.

Із збіжності за ймовірністю випливає існування підпослідовності, що збігається майже напевно.

Із збіжності за ймовірністю випливає збіжність за розподілом.

Із збіжності в середньому випливає збіжність за ймовірністю.

Із збіжності у середньому вищого порядку випливає збіжність у середньому нижчого порядку (обидва порядки мають бути не менше 1). за умови r ≥ s ≥ 1. Із збіжності послідовності випадкових величин до константи випливає збіжність до константи за ймовірністю.

Якщо Xn збігається за розподілом до X та різниця між Xn та Yn збігається за ймовірністю до 0, то Yn теж збігається за розподілом до X.

Якщо Xn збігається за розподілом до X і Yn збігається за розподілом до константи c, тоді вектор (Xn, Yn) збігається за розподілом до (X, c).

Зауваження: збіжність до константи, а не до випадкової величини - суттєва умова. Якщо Xn збігається за ймовірністю до X та Yn збігається за ймовірністю до Y, тоді сумісний вектор (Xn, Yn) збігається за ймовірністю до (X, Y).

Якщо Xn збігається за ймовірністю до X, та якщо для всіх n та деякого b, тоді Xn збігається у середньому з r-м порядком до X для всіх r ≥ 1. Якщо послідовність випадкових величин {Xn} збігається до X0 за розподілом, то можна побудувати новий ймовірнісний простір (Ω, F, P) та послідовність випадкових величин {Yn, n = 0,1,…} визначених на ньому, таку що Yn має такий самий розподіл як Xn для кожного n ≥ 0 та Yn збігається до Y0 майже напевно. Якщо Sn - це сума n дійсних незалежних випадкових величин:

тоді Sn збігається майже напевно тоді й лише тоді коли Sn збігається за ймовірністю. Теорема Лебега про мажоровану збіжність дає достатні умови для того щоб із збіжності майже напевно випливала збіжність у середньому 1-го порядку:

Необхідна і достатня умова для збіжності у середньому 1-го порядку - це збіжність за ймовірністю та рівномірна інтегрованість послідовності Xn.

Див. також Теорема Скорохода про вираження Теорема Слуцького

Джерела