Досконала множина — замкнута множина, що не має ізольованих точок, тобто така, що збігається з множиною своїх граничних точок, або своєю похідною множиною. Іншими словами множина досконала якщо вона замкнена і щільна в собі. Це визначення справедливе для топологічних просторів.
Приклади Множина Кантора — ніде не щільна, досконала множина. Побудуємо сімейство досконалих ніде не щільних множин з додатною мірою. Кожна з цих множин (їх також називають канторовими), це множина точок, що залишаються на відрізку після видалення з нього послідовності інтервалів. Нехай - довільне додатне число менше 1. Спочатку видалимо з всі точки відкритого інтервалу довжини . Із двох відрізків що залишились видалимо середні відкриті інтервали, довжина кожного з яких дорівнює . Потім з кожного з чотирьох відрізків що залишились видалимо середні відкриті інтервали довжиною . Після кроків міра видалених інтервалів дорівнюватиме , тому міра сукупності видалених інтервалів після нескінченної послідовності видалень дорівнюватиме . Міра канторової множини, що залишилась, дорівнюватиме . Побудовані таким чином множини є досконалими, ніде не щільними множинами додатньої міри.
Властивості Кожна непорожня досконала множина в евклідовому просторі має потужність континуум. Множина точок конденсації довільної множини - досконала множина. Теорема Кантора-Бендиксона стверджує, що кожна множина дійсних чисел є об'єднанням досконалої множини своїх точок конденсації та зліченної множини. (Тут мається на увазі множина тих точок конденсації, що належать множині, досконалість цієї множини розуміється по відношенню до початкової множини). Теорема Девіса стверджує, що кожна незліченна множина дійсних чисел містить досконалу підмножину. Але ця теорема доведена у припущенні аксіоми детермінованості, що суперечить аксіомі вибору.
Джерела