У диференціальному численні існує дискретна версія теореми Гріна, яка описує відношення між подвійним інтегралом функції для узагальненої прямокутної області D (область, яка утворюється з скінченого додавання прямокутників на площині) й лінійної комбінації похідної функції, заданої в кутах області. У цьому значенні ми будемо дивитись більш відому версію дискретної теореми Гріна.
Теорема названа на честь британського математика Джорджа Гріна, через схожість з його теоремою, теоремою Гріна: дві теоремі описують зв'язок між інтегруванням по кривій і інтегруванням по області, обмеженій кривою.
Історія Теорема була вперше представлена як неперервне продовження алгоритму Ванга «Інтегральне представлення зображення», у 2007 році на Міжнародній конференції ICCV, а потім знову була видана професором Doretto і його колегами у рецензованому журналі у 2011 році.
Теорема
Припустимо що ƒ є інтегровною функцією на площині R2, так що:
є її похідна функції. Нехай — прямокутна область. Тоді представимо теорему як:
де — множина кутів заданої області D, є дискретним параметром з можливими значеннями {0, ±1, ±2}, які визначаються залежно типу кута, як показано на малюнку праворуч. Цей параметр є приватним випадком прагнення кривої, яка послідовно визначається за допомогою одностороннього розриву крива у кутах заданої області.
Ця теорема є природним продовженням алгоритму таблиці узагальненої області. Ця теорема розширює алгоритм в у тому сенсі, цо область може бути неперервною і вона може бути сформована з (скінченого) числа прямокутників, тоді як в алгоритмі таблиці узагальненої області передбачається, що область є єдиним прямокутником.
Дискретна теорема Гріна також узагальнює теорему Ньютона-Лейбніца.
Доведення Для доведення теореми можна задіяти формулу з алгоритму «Інтегрального представлення зображення» яка включає в себе прямокутники, які утворюють цю область:
Це зображення показує, як + \ — коефіцієнти першочергової функції скорочуються у прямокутниках, окрім точок які знаходяться у кутах цієї області.
Приклад Припустимо, що функція ƒ, задана на площині R2, тоді F є її похідною функцією. Нехай D — це, область, позначена зеленим на наступному малюнку:
згідно з теоремою, задіяною у цій області, виходить наступний вираз:
Додаток Дискретна теорема Гріна в комп'ютерних програмах зі знаходження об'єктів на зображеннях і їх швидкого обчислення, а також у інтересах ефективного розрахунку ймовірностей.
Узагальнення У 2011 році були запропоновані способи узагальнення до теореми: Спосіб, запропонований професором Фам і його колегами: узагальнення теореми полігональних областей за допомогою динамічного програмування. Підхід, запропонований математиком Шахар: узагальнення теоремі на більш широкий спектр областей за допомогою оператора розриву і методу інтегрування похилої лінії за допомогою яких і була сформована дискретна теорема Гріна.
Див. також Теорема Гріна
Примітки
Література
Відео лекції Вступ в напівдискретне числення, які використовуються в дискретній теоремі Гріна .