Фільтр зі скінче́нною і́мпульсною характери́стикою (нерекурсивний фільтр, або FIR-фільтр (FIR скор. від — скінченна імпульсна характеристика) — один з видів лінійних цифрових фільтрів, характерною особливістю якого є обмеженість за часом його імпульсної характеристики (з якогось моменту часу вона стає точно рівною нулю). Такий фільтр називають ще нерекурсивним через відсутність зворотного зв'язку. Знаменник передавальної функції такого фільтра — якась константа.
Динамічні характеристики
Різницеве рівняння, що описує зв'язок між вхідним і вихідним сигналами фільтра:
де — порядок фільтра, — вхідний сигнал, — вихідний сигнал, а — коефіцієнти фільтра. Іншими словами, значення будь-якого відліку вихідного сигналу визначається сумою масштабованих значень попередніх відліків. Можна сказати інакше: значення виходу фільтра в будь-який момент часу є значення відгуку на миттєве значення входу і сума всіх поступово затухаючих відгуків попередніх відліків сигналу, які все ще чинять вплив на вихід (після -відліків імпульсна перехідна функція стає рівною нулю, як уже було сказано, тому всі члени після -го теж стануть рівними нулю). Запишемо попереднє рівняння в більш місткому вигляді:
Для того, щоб знайти ядро фільтра покладемо
де — дельта-функція. Тоді імпульсна характеристика FIR-фільтра може бути записана як:
Z-перетворення імпульсної характеристики дає нам передавальну функцію FIR-фільтра:
Приклади
Найпростішим прикладом FIR-фільтра є ковзне середнє. Для фільтра порядку усі коефіцієнтів мають однакові значення:
Наприклад, для фільтра другого порядку,
імпульсна характеристика має вигляд
Відповідно, передавальна функція такого фільтра дорівнює
Передавальна функція має два полюси в початку координат та два нулі
На одиничному колі нулі відповідають нормованим кутовим частотам та . Частотна характеристика фільтра визначається підстановкою :
Множник задає лінійну фазу та затримку на один відлік, тоді як множник визначає амплітудну характеристику. Фільтр пропускає низькі частоти майже без послаблення та пригнічує вищі частоти, тому є простим фільтром низьких частот.
Для довільного вікна з відліків частотна характеристика ковзного середнього має форму
тобто її амплітудна характеристика має характерну sinc-подібну форму з періодичними нулями.
Переваги FIR-фільтр має ряд корисних властивостей, через які він іноді кращий у використанні, ніж IIR-фільтр. Ось деякі з них: Гарантована стійкість. Нерекурсивний FIR-фільтр з обмеженими коефіцієнтами є BIBO-стійким, оскільки його вихід визначається скінченною сумою зважених відліків вхідного сигналу. FIR-фільтри при реалізації не вимагають наявності зворотного зв'язку Фаза FIR-фільтрів може бути зроблена точно лінійною тобто можна отримати сталу групову затримку.
Скінченний перехідний процес. Після припинення дії вхідного сигналу відгук FIR-фільтра через скінченне число відліків стає точно рівним нулю.
Недоліки Вищий порядок. За однакових вимог до амплітудної характеристики, зокрема однакової ширини перехідної смуги та допустимої пульсації в смузі пропускання та необхідного пригнічення поза смугою пропускання, FIR-фільтр зазвичай потребує значно вищого порядку, ніж рекурсивний фільтр.
Більші обчислювальні витрати. Вищий порядок фільтра означає більшу кількість множень і додавань на кожен відлік сигнала, а також більші вимоги до пам'яті для зберігання коефіцієнтів і затриманих значень відліків.
Більша затримка. Фільтри високого порядку можуть створювати значну затримку поширення сигналу зі входу на вихід, що є небажаним у системах реального часу.
Див. також Цифровий фільтр Рекурсивний фільтр Z-перетворення
Посилання
Примітки