Закон Стефана — Больцмана — закон випромінювання абсолютно чорного тіла, який стверджує, що енергія випромінювання з одиниці площі поверхні абсолютно чорного тіла за одиницю часу пропорційна 4-му степеню ефективної температури. Закон задається формулою: . Коефіцієнт пропорційності, = 5,670374419…×10−8 Вт⋅м−2⋅К−4, називають сталою Стефана — Больцмана.
У загальнішому випадку «сірого тіла» з випромінювальною здатністю закон Стефана — Больцмана можна узагальнити як
.
Зазвичай випромінювальна здатність лежить у межах від нуля до одиниці. Значення, рівне одиниці, відповідає абсолютно чорному тілу.
Закон названий на честь Йозефа Стефана, який емпірично встановив це співвідношення, та Людвіга Больцмана, який вивів його теоретично.
Детальне пояснення
Енергетична світність, , має розмірність потоку енергії (енергія за одиницю часу з одиниці площі), а в Міжнародній системі одиниць (SI) вимірюється в джоулях за секунду на квадратний метр (Дж⋅с⋅м) або, еквівалентно, у ватах на квадратний метр (Вт⋅м). Одиницею абсолютної температури в СІ є кельвін (К).
Щоб знайти повну потужність , випромінену тілом, потрібно помножити енергетичну світність на площу поверхні тіла :
.
Речовина, яка не поглинає все падаюче випромінювання, випромінює менше повної енергії, ніж абсолютно чорне тіло. Випромінювання зменшується у разів, де випромінювальна здатність є властивістю матеріалу і для більшості речовин задовольняє умову . Загалом випромінювальна здатність може залежати від довжини хвилі, напрямку випромінювання та поляризації. Однак випромінювальна здатність, що входить до закону Стефана — Больцмана, є півсферичною повною випромінювальною здатністю, яка враховує сумарне випромінювання за всіма довжинами хвиль, напрямкаами та поляризаціями.
Форма закону Стефана — Больцмана, що містить випромінювальну здатність, застосовна до будь-якої речовини, якщо вона перебуває у стані локальної термодинамічної рівноваги, тобто її температура добре визначена. Це тривіальний висновок, оскільки випромінювальну здатність визначають саме як величину, що робить це рівняння справедливим. Нетривіальним є твердження, що , яке випливає із закону Кірхгофа для теплового випромінювання. Утім, частинки з розмірами порядку довжини хвилі або меншими за неї, метаматеріали та інші наноструктури не підпадають під межі геометричної оптики, тому їх можна сконструювати так, щоб вони мали випромінювальну здатність, більшу за 1.
Так зване «сіре тіло» — це тіло, для якого спектральна випромінювальна здатність не залежить від довжини хвилі, тому повна випромінювальна здатність є сталою. У загальнішому (і реалістичнішому) випадку спектральна випромінювальна здатність залежить від довжини хвилі. Повну випромінювальну здатність, що входить до закону Стефана — Больцмана, можна обчислити як зважене середнє спектральної випромінювальної здатності, де спектр випромінювання чорного тіла слугує ваговою функцією. Звідси випливає, що якщо спектральна випромінювальна здатність залежить від довжини хвилі, то повна випромінювальна здатність залежить і від температури, тобто , що формально порушить закон пропорційності випромінення 4-му степеню температури. Однак якщо залежність від довжини хвилі слабка, то й залежність від температури також буде слабкою.
У міжнародних стандартах рекомендують позначати енергетичну світність символом . Коло у верхньому індексі (°) указує, що величина стосується абсолютно чорного тіла. Коли важливо підкреслити, що розглядають повну енергетичну (радіометричну) світність, то додають нижній індекс «e», позначаючи її , протиставляючи її аналогічній (фотометричній) величині, пов'язаній із зором людини, яку позначають . Позначення для енергетичної світності відрізняється залежно від тексту та галузі.
Закон Стефана — Больцмана можна подати як формулу для енергетичної яскравості залежно від температури. Енергетичну яскравість вимірюють у ватах на квадратний метр на стерадіан (Вт⋅м⋅ср). Закон Стефана — Больцмана для енергетичної яскравості чорного тіла має вигляд:
.
Закон Стефана — Больцмана, записаний для об'ємної густини енергії випромінювання, має вигляд:
,
де — швидкість світла.
Історія 1864 року Джон Тіндаль представив результати вимірювань інфрачервоного випромінювання платинової нитки та відповідного кольору її світіння ; see p. 333.In his physics textbook of 1875, Adolph Wüllner quoted Tyndall's results and then added estimates of the temperature that corresponded to the platinum filament's color:From : «Wie aus gleich zu besprechenden Versuchen von Draper hervorgeht, … also fast um das 12fache zu.» (As follows from the experiments of Draper, which will be discussed shortly, a temperature of about 525°[C] corresponds to the weak red glow; a [temperature] of about 1200°[C], to the full white glow. Thus, while the temperature climbed only somewhat more than double, the intensity of the radiation increased from 10.4 to 122; thus, almost 12-fold.). Пропорційність випромінювання четвертому степеню абсолютної температури вивів Йозеф Стефан (1835—1893) у 1877 році на основі експериментальних вимірювань Тіндаля у праці «Про зв'язок між тепловим випромінюванням і температурою» (), опублікованій у збірнику засідань Віденської академії наукStefan stated : «Zuerst will ich hier die Bemerkung anführen, … die Wärmestrahlung der vierten Potenz der absoluten Temperatur proportional anzunehmen.» (First of all, I want to point out here the observation which Wüllner, in his textbook, added to the report of Tyndall's experiments on the radiation of a platinum wire that was brought to glowing by an electric current, because this observation first caused me to suppose that thermal radiation is proportional to the fourth power of the absolute temperature.).
Теоретичне виведення закону надав Людвіг Больцман (1844—1906) у 1884 році, спираючись на праці . У 1876 році Бартолі вивів існування тиску випромінювання із засад термодинаміки. Розвиваючи ідею Бартолі, Больцман розглянув ідеальний тепловий двигун, у якому роль робочого тіла замість ідеального газу виконувало електромагнітне випромінювання.
Закон майже одразу підтвердили експериментально. У 1888 році вказав на відхилення за вищих температур, проте до 1897 року вчені підтвердили бездоганну точність формули в межах похибок вимірювання аж до температури 1535 K. Цей закон, включно з теоретичним передбаченням сталої Стефана — Больцмана як функції від швидкості світла, сталої Больцмана та сталої Планка, є прямим наслідком закону Планка, сформульованого 1900 року.
Стала Стефана — Больцмана
Сталу Стефана — Больцмана визначають через інші відомі фізичні константи:де — стала Больцмана, — стала Планка (при цьому — зведена стала Планка), а — швидкість світла у вакуумі.
Після реформи системи SI 2019 року, яка зафіксувала точні числові значення для , і , стала Стефана — Больцмана набула точного значення:Отже,
Доведення закону
Виведення із закону Планка
Цей закон можна вивести, розглянувши малу плоску поверхню абсолютно чорного тіла, що випромінює в півсферу. У цьому виведенні використано сферичні координати, де θ — зенітний кут, а φ — азимутальний кут; при цьому мала плоска поверхня чорного тіла лежить у площині xy, де θ = /2.
Інтенсивність випромінювання світла з поверхні чорного тіла описує закон Планка:де: — потужність на одиницю площі поверхні, на одиницю тілесного кута та на одиницю частоти, випромінювана на частоті абсолютно чорним тілом за температури T; — стала Планка; — швидкість світла; — стала Больцмана.
Величина — це потужність, яку випромінює поверхня площею A в тілесний кут в інтервалі частот від до .
Закон Стефана — Больцмана визначає потужність, випромінювану на одиницю площі поверхні тіла:Косинус з'являється тому, що абсолютно чорні тіла підпорядковуються закону Ламберта, тобто інтенсивність випромінювання пропорційна косинусу зенітного кута. Щоб вивести закон Стефана — Больцмана, необхідно проінтегрувати вираз за півсферою, а — від 0 до ∞:Підставивши вираз для I, отримуємо:Для обчислення цього інтеграла зробимо заміну змінних:що дає:
Інтеграл праворуч є табличним і відомий під кількома назвами: це окремий випадок інтеграла Бозе — Ейнштейна, полілогарифма або дзета-функції Рімана . Значення цього інтеграла дорівнює (де — гамма-функція), що дає для закону Стефана — Больцмана такий результат:
Слід зауважити, що на початку цього доведення розглядалася лише мала плоска поверхня. Втім, будь-яку диференційовну поверхню можна апроксимувати сукупністю малих плоских елементів. Якщо геометрія поверхні не призводить до повторного поглинання тілом власного випромінювання, то повна випромінена енергія є просто сумою енергій, випромінених кожною ділянкою, а повна площа поверхні — сумою площ цих ділянок. Таким чином, цей закон справджується й для всіх опуклих чорних тіл, якщо їхня поверхня має однакову температуру по всій площі. Закон можна поширити й на випромінювання неопуклих тіл, скориставшися тим, що опукла оболонка чорного тіла випромінює так само, як випромінювало б саме чорне тіло. Густина енергії Повну густину енергії u можна обчислити аналогічно, за винятком того, що інтегрування проводять по всій сфері без множника косинуса, а потік енергії слід поділити на швидкість c, щоб отримати густину енергії u:Таким чином, вираз замінюється на , що дає додатковий множник 4.
У підсумку отримуємо:Добуток іноді називають сталою густини випромінювання.
Приклади
Температура Сонця
За допомогою свого закону Стефан також визначив температуру поверхні Сонця. Спираючись на дані Жака-Луї Соре (1827–1890), він зробив висновок, що густина потоку енергії від Сонця у 29 разів перевищує густину потоку енергії певної нагрітої металевої пластинки (ламелі). Круглу пластинку розташували на такій відстані від вимірювального приладу, що її було видно під тим самим кутовим діаметром, що й Сонце. Соре оцінив температуру цієї пластинки приблизно в 1900 °C — 2000 °C. Стефан припустив, що 1/3 потоку сонячної енергії поглинає атмосфера Землі, тому за дійсне значення сонячного потоку енергії він узяв величину, у 3/2 рази більшу за значення Соре, а саме 29 × 3/2 = 43,5.
Надійні вимірювання атмосферного поглинання здійснили лише в 1888 та 1904 роках. Для температури пластини Стефан прийняв 1950 °C, тобто 2200 К. Оскільки 2,574 = 43,5, із закону Стефана — Больцмана випливає, що температура Сонця у 2,57 раза перевищує температуру пластинки, тож Стефан отримав значення 5430 °C (або 5700 К). Це була перша реалістична оцінка температури Сонця. До цього висловлювали припущення щодо значень у діапазоні від 1800 °C аж до 13 000 000 °C On p. 505, the Scottish physicist John James Waterston estimated that the temperature of the sun's surface could be 12,880,000°.. Нижню оцінку у 1800 °C визначив Клод Поє (1790—1868) у 1838 році за допомогою закону Дюлонга — Пті On p. 36, Pouillet estimates the sun's temperature: " … cette température pourrait être de 1761° … " (… this temperature [i.e., of the Sun] could be 1761° …)English translation: .
Температура зір Температуру інших зір можна наближено оцінити схожим способом, розглядаючи випромінювану енергію як випромінювання абсолютно чорного тіла, тобто:де — світність, — стала Стефана — Больцмана, — радіус зорі, а — ефективна температура. З цієї формули можна виразити температуру:або радіус:Ці самі формули можна спростити для обчислення параметрів відносно Сонця:де — радіус Сонця тощо. Їх також можна записати через площу поверхні A та енергетичну світність :де та
За допомогою закону Стефана — Больцмана астрономи можуть легко оцінювати радіуси зір. Цей закон також використовують у термодинаміці чорних дір для опису так званого випромінювання Гокінга.
Ефективна температура Землі Подібним чином можна обчислити ефективну температуру Землі T⊕, прирівнявши отриману від Сонця енергію до енергії, яку випромінює Земля, у наближенні абсолютно чорного тіла (власне вироблення енергії Землею є настільки малим, що ним можна знехтувати). Світність Сонця L☉ визначають за формулою: