Прибуток страхової компанії' — це різниця між страховими внесками клієнтів і їхніми винагородами в разі настання страхових випадків. Прибутковість прийнято вважати основним показником успішної діяльності підрозділу або корпорації в цілому, який надалі враховується її керівниками при нарахуванні премій співробітникам.

Випишемо умови, за яких страхова компанія в середньому буде прибуткова. Розглянемо випадок, коли страхова компанія повністю відшкодовує застрахований актив, тобто q = 1.

Сподіваний прибуток компанії з розрахунку на одного клієнта в цьому разі становитиме величину:

Будемо дотримуватись припущення, що всі клієнти страхової компанії однакові. Отже, за певних умов страхування вони всі гуртом страхуватимуться в однакових обсягах, або ухилятимуться взагалі від страхування. Це дає змогу розглядати питання про прибутковість страхової компанії з точки зору взаємовідносин компанії та одного клієнта.

З (1) випливає, що страхова компанія буде прибутковою (в середньому), якщо одночасно виконуються дві умови:

1) клієнт страхує хоча б частку свого активу, тобто: ; 2) сподіваний страховий платіж клієнта компанії перевищує сподівану страхову компенсацію компанії клієнтові, тобто:

Теорема про рівновагу та її наслідок, коли q = 1, дають умови, за яких клієнт схиляється до страхування.

Згадаємо, що, згідно з наслідком з теореми про рівновагу, якщо q = 1, то:

Поєднуючи (6) та (3), робимо висновок, що умови прибутковості страхової компанії в середньому будуть такі:

Варто звернути увагу на цікаву особливість. Порівняння формул (5), (3) та (7) дає підстави стверджувати, що у разі виконання умов, достатніх для того, щоб власник активу страхував його повністю, страхова фірма буде в середньому збитковою.

Цей висновок, до речі, підтверджується розрахунками з Табл.2.

Числовий приклад

Для спрощення розрахунків буде запроваджене додаткове припущення: всі клієнти однакові, тобто мають однакові функції корисності й імовірності страхових випадків. Залишимо основні параметри моделі клієнта незмінними порівняно з прикладом, який розглядався вище, тобто: А = 20 000; імовірність страхового випадку , питомий страховий платіж ,питома страхова винагорода . Система цінностей особи, яка страхується, описана в Табл. 1. Особливостями системи цінностей особи, яка може скористатись послугами страхової компанії, є те, що найбільш болючими для неї будуть втрати останніх одиниць активу (20 ютилів за кожну тисячу з останніх п'яти). Кожна з наступних п'яти одиниць і втрата перших одиниць — найменш болюча. На відміну від моделі клієнта питомий страховий платіж вже не фіксується й не є об'єктом вибору.

+Таблиця 1.Корисність залишку активу після страхового випадку. Величина активу (в тис.грн) Гранича корисність Корисність 0 20 0 1 20 20 2 20 40 3 20 60 4 20 80 5 20 100 6 10 110 7 10 120 8 10 130 9 10 140 10 10 150 11 5 155 12 5 160 13 5 165 14 5 170 15 5 175 16 1 176 17 1 177 18 1 178 19 1 179 20 1 180

Якщо клієнт не страхується зовсім, то він матиме, як і раніше, актив обсягом 20 000 за відсутності страхового випадку, та нічого, якщо страховий випадок трапиться. З точки зору корисності, він матиме 180 ютилів (див. табл.1) з імовірністю 0,9999 та нічого з імовірністю 0,0001. Сподівана корисність становитиме:

0,9999 х 180 + 0,0001 х 0 = 179,982.

Якщо клієнт страхує 4 000, то у разі відсутності страхового випадку то у нього залишається:

20 000 — 4 000 х 0,001 = 19,996, а в разі страхового випадку — 4 000 гривень, корисність першої суми згідно з табл.1., становитиме 179,996, другої — 80. Звідси, сподівана корисність дорівнюватиме 179,996 х 0,9999 + 80 х 0,0001 = 179,986. Таким чином, для особи з функцією корисності, яка відображена в таблиці 1 та страхування обсягом 4 000 є більш привабливим порівняно з випадком коли особа взагалі не страхується.

+Таблиця 2. Страхові платежі (r) та сподіваний прибуток страхової фірми, що припадає на одного клієнта. 0 2,00 1 0,00 2 1,50 3 3,00 4 4,50 5 5,00 6 5,00 7 6,00 8 7,00 9 8,00 10 6,75 11 5,00 12 5,50 13 6,00 14 6,50 15 7,00 16 7,50 17 8,00 18 8,50 19 9,00 20 4,75

Теорему остаточно доведено на числовому прикладі на основі Таблиці 2.

Джерела Кузьменко О. В. Актурні розрахунки.//Умови прибутковості страхової компанії//: Навч. пос./Гаманкова — д.е.н.; — К.: Ділові перспективи, 2011. — 224 с. Устенко О. Л. Теорія економічного ризику : Монография. — К.: МАУП, 1997. — 164 с. Прибутковість: Технічна енциклопедія//Електронний ресурс//Режим доступу: < http://techtrend.com.ua/index.php?newsid=21988 >

Див. також Страхування фінансових ризиків Космічне страхування Диверсифікація ризиків за допомогою перестрахування Оцінка доходів від інвестування страхових резервів