Рівня́ння Гамільто́на — Я́кобі — рівняння у часткових похідних, яке повністю визначає еволюцію гамільтонової системи класичної механіки.
Рівняння формулюється так: .
Тут — функція Гамільтона для системи із узагальненими координатами і узагальненими імпульсами , де пробігає значення від одиниці до кількості ступенів свободи гамільтонової системи .
Визначення еволюції узагальнених координат та імпульсів
— це функція узагальнених координат і часу, яка має розмірність дії.
Рівняння Гамільтона — Якобі це рівняння в часткових похідних першого порядку відносно функції . Його розв'язок залежить від параметрів інтегрування, які можна позначити . Запишемо цей розв'язок у вигляді . Тоді еволюція узагальнених змінних системи визначається з розв'язку такої системи алгебраїчних рівнянь:
де — це ще нових параметрів інтегрування.
Теорія відносності Для вільної частинки в теорії відносності рівняння Гамільтона — Якобі має вигляд: ,
де с — швидкість світла в порожнечі
Загальна теорія відносності У рамках загальної теорії відносності в рівнянні Гамільтона — Якобі враховується загальний вираз для метрики простору-часу і рівняння набирає вигляду .
Метрика простору-часу визначається в загальному випадку також гравітаційними полями, тож це рівняння справедливе не лише для вільної частинки, а й для частинки в гравітаційному полі.
Значення
Рівняння Гамільтона — Якобі загалом інтегрувати складніше, ніж вихідні рівняння гамільтонової механіки, проте воно є зручним засобом для побудови наближень.
Загальний вигляд рівняння Гамільтона — Якобі нагадує квантовомеханічне рівняння Шредінгера. Доведено, що для макроскопічних тіл рівняння Шредінгера зводиться до класичного рівняння Гамільтона — Якобі (дивіться Квазікласичне наближення).
Див. також Механіка Гамільтона Механіка Лагранжа
Література