Трійкова система числення — позиційна система числення з цілочисленною основою, рівною 3. За аналогією з a бітом, трійковою цифрою є трит (). Один трит містить біт інформації. Трійкова система числення використовується в трійковому комп'ютері.
Існує в двох варіантах: несиметрична і симетрична.
Трійкові цифри У несиметричній трійковій системі числення частіше застосовуються цифри {0,1,2}, а в трійковій симетричній системі числення знаки {-, 0, +}, {-1,0, +1}, {, 0,1}, {1, 0,1}, {i, 0,1}, {N, O, P}, {N, Z, P} і цифри { 2,0,1}, {7,0,1}. Трійкові цифри можна позначати будь-якими трьома знаками {A, B, C}, але при цьому додатково потрібно вказати старшинство знаків, наприклад, C>B, B>A.
Фізичні реалізації У цифровій електроніці, незалежно від варіанту трійкової системи числення, одному трійковому розряду в трійковій системі числення відповідає один трійковий тригер як мінімум на трьох інверторах з логікою на вході або два двійкових тригера як мінімум на чотирьох інверторах з логікою на вході.
Трайт
Деякі трійкові комп'ютери, такі як «Сетунь», використовують трайт який дорівнює 6 тритів, аналогічно двійковому байту.
Представлення чисел в трійкових системах числення
Несиметрична трійкова система числення Прикладом подання чисел у несиметричній трійковій системі числення може служити запис в цій системі цілих додатних чисел:
Десяткове число 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Трійкове число 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100 101 Якщо в десятковій системі числення є 10 цифр і вага сусідніх розрядів різниться в 10 разів (розряд одиниць, розряд десятків, розряд сотень), то в трійковій системі використовуються тільки три цифри і ваги сусідніх розрядів різняться втричі (розряд одиниць, розряд трійок, розряд дев'яток, ...). Цифра 1, написана першою лівіше коми, позначає одиницю; ця ж цифра, написана другою лівіше коми, позначає трійку і т. д.
Несиметрична трійкова система числення є окремим випадком спарених (комбінованих) показових позиційних систем числення, в якій a k - з трійкової множини a = {0,1,2}, b = 3, ваги розрядів рівні 3k.
Показникові системи числення У показникових позиційних трійкових системах числення використовуються дві системи: Внутрішньорозрядна система кодування з основою З, числа якої використовуються для запису цифр. Приписна міжрозрядна система числення з основою b.
Ціле число в показниковій позиційній системі числення представляється у вигляді суми добутків значень в розрядах (цифр):
K — число від 0 до n-1, номер числового розряду, N — число розрядів, З — основа системи кодування, 3 дорівнює розмірностімножини a = {0,1, …, c-1} з якого беруться цифри a k , Ak — цілі числа з множини a, назваються цифрами, B — число, основа міжрозрядної показниковою вагової функції, Bk — числа міжрозрядної функції, вагові коефіцієнти розрядів.
Кожен добутокв такого запису називається (a, b)-им розрядом.
При c = b утворюються (b, b)-ві системи числення з добутком — a k b k і сумою — , які при b = 3 перетворюються на звичайну (3,3) -ву (трійкову) систему числення. При запису перший індекс часто опускається, іноді, коли є згадка в тексті, опускається і другий індекс.
Ваговий коефіцієнт розряду — b k — приписної і, в загальному випадку, може бути необов'язково показниковою функцією від номера розряду — k , і необов'язково степенем числа 3 . Множина значень a k більш обмежена і більше пов'язана з апаратною частиною — числом стійких станів тригерів чи числом станів групи тригерів в одному розряді регістра. У загальному випадку, a k можуть бути теж необов'язково з трійкової множини a = {0,1,2}, але, щоб спарені системи були трійковими, як мінімум, одна з двох систем повинна бути трійковою. A k -ті ближче до апаратної частини і по a k -тим з множини a = {0,1,2 } або з множини a = {-1,0, +1}, визначається система кодування: несиметрична трійкова або симетрична трійкова.
Показникові трійкові системи числення
Ціле число в показниковій позиційній трійковій системі записують у вигляді послідовності його цифр (рядки цифр), що перераховуються зліва направо по спаданню старшинства розрядів:
У показникових системах числення значенню розрядів приписуються вагові коефіцієнти , в записі вони опускаються, але мається на увазі, що k-ий розряд справа наліво має ваговий коефіцієнт рівний .
З комбінаторики відомо, що кількість записуваних кодів дорівнює числу розміщень з повтореннями:
, де A = 3 - 3-х елементна множина a = {0,1,2} з якої беруться цифри a k , n - число елементів (цифр) в числі x 3, b .
Кількість записуваних кодів не залежить від основи показникової функції - b, яке визначає діапазон представляються числами x 3, b величин.
Дробове число записується і представляється у вигляді: , де m - число розрядів дробової частини числа праворуч від коми,
при m = 0 дробова частина відсутня, число - ціле; при ak з трійкової множини a = {0,1,2} і b = 1 утворюється непозиційна трійков система числення з однаковими ваговими коефіцієнтами всіх розрядів рівними 1k = 1; при ak з двійкової множини a = {0,1} і b = 3 в сумі будуть тільки цілі степені - 3k ; при ak з трійкової множини a = {0,1,2} і b = 3 в сумі будуть цілі і подвоєні степені 3, система числення стає звичайною несиметричною трійковою системою числення, a k задовольняють нерівності , тобто ; при ak з десяткової множини a = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} і b = 3 в сумі будуть цілі степені 3 помножені на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9.
У деяких випадках цього може виявитися недостатньо, в таких випадках можна застосувати зтроєні (комтринування), зчетверені та інші системи числення.
Трійкова системи числення з додатковим співмножником У показникових позиційних трійкових системах числення у вагу розряду можна ввести додатковий співмножник. Наприклад, співмножник (b/с):
У загальному випадку c ≠ 3. При a k з a = {0,1,2}, b = 3 і c = 3 утворюється звичайна несиметрична трійкова система числення. При a = 2, b = 3 і c = 2 утворюється (2,3,2)-кова система числення з додатковим нецілочисельним ваговим коефіцієнтом у добутку рівному (3/c) = (3/2) = 1,5. При інших значеннях a, b і c утворюються інші показові позиційні системи числення з додатковим співмножником (b/c), число яких нескінченне. Можливі нескінченні множини та інших складових систем числення.
Кодування трійкових цифр Одна трійкова цифра може кодуватися різними способами.
Трирівневі системи кодування
Трирівневе кодування трійчастих цифр (3-Level Coded Ternary, 3LCT, «однопровідне»)
Число трирівневих систем кодування трійкових цифр дорівнює числу перестановок: з них одна симетрична {-1, 0, +1} (+U - (+1); 0 - (0); -U - (-1)), зсунута на +1 {0, 1, 2} зсунута на +2 {1, 2, 3}
Дворівневі системи кодування Двобітне двійкове кодування Також називається «двопровідне», . З використанням 3-х кодів з 4-х можливих
Число можливих 2B BCT систем кодування трійкових цифр дорівнює числу сполук без повторення: помноженому на число перестановок в кожному наборі з 3-х чисел: тобто 4 * 6 = 24. Ось деякі з них:
Перший варіант:
(1,0) - 2; (0,1) - 1; (0,0) - 0.
Другий варіант: (1,1) - 2; (0,1) - 1; (0,0) - 0.
З використанням всіх 4-х кодів з 4-х можливих (два з 4-х кодів кодують одну і ту ж саму трійкову цифру) Ось одна з них: (0,0) - «0» (1,1) - «0» (0,1) - «-1» (1,0) - «+1»
Трьохбітне двійкове кодування Також відоме як «трипровідне», . Використовуються три коди з 8-ми можливих.
Число можливих 3B BCT систем кодування трійкових цифр дорівнює числу сполук без повторення:
помноженому на число перестановок в кожному наборі з 3-х чисел: тобто 54 * 6 = 324. Ось деякі з них:
Перший варіант: (1,0,0) - 2; (0,1,0) - 1; (0,0,1) - 0.
Другий варіант: (0,1,1) - 2; (1,0,1) - 1; (1,1,0) - 0.
Третій варіант: (1,1,1) - 2; (0,1,1) - 1; (0,0,1) - 0.
Четвертий варіант: (0,0,0) - 2; (1,0,0) - 1; (1,1,0) - 0.
Порівняння з двійковою системою числення При порозрядному порівнянні трійкова система числення виявляється більш ємною, ніж двійкова система числення.
При дев'яти розрядах двійковий код має ємність чисел, а трійковий код має ємність числа, тобто в рази більше.
При двадцяти семи розрядах двійковий код має ємність чисел, а трійковий код має ємність чисел, тобто в разів більше.
При вісімдесяти одному розряді двійковий код має ємність числа, а трійковий код — чисел, тобто в разів більше.
Властивості
Трійкова позиційна показникова несиметрична система числення за витратами числа знаків (в трирозрядному десятковому числі 3 * 10 = 30 знаків) найбільш економічна з позиційних показникових несиметричних систем числення. (альтернативная ссылка )А. Кушнеров Троичная цифровая техника. Ретроспектива и современность. О. А. Акулов, Н. В. Медведев. Информатика и вычислительная техника. 4-е изд. — М.: Омега-Л, 2007. (Раздел I, Гл.3.3) А. Кушнеров приписує цю теорему Джону фон Нейману.
Переклад цілих чисел з десяткової системи числення в трійкову Для перекладу ціле десяткове число ділять (цілочисельне ділення) на 3 доти, поки частка більше нуля. Остачі, записані зліва направо від останнього до першого є цілим несиметричним потрійним еквівалентом цілого десяткового числа. Http://algolist.manual.ru/maths/teornum/count_sys.php Переклад з системи з більшою підставою - в систему з меншим Приклад: десяткове ціле число 4810,10 переведемо в несиметричне трійкове ціле число: число = 48 10,10 ділимо на 3, частка = 16, остача a0 = 0 частка = 16 10,10 ділимо на 3, частка = 5, остача a1 = 1 частка = 5 10,10 ділимо на 3, частка = 1, остача a2 = 2 частка = 1 10,10 ділимо на 3, частка = 0, остача a3 = 1 Частка не більше нуля, ділення закінчено. Тепер, записавши всі остачі від останнього до першого зліва направо, отримаємо результат 4810,10 = (a3 a2 a1 a 0 ) 3,3 = 12103,3 .
Таблиці додавання в трійкових системах числення
У трійковій несиметричній системі числення З результатом в десятковій системі числення: 2 2 3 4 1 1 2 3 0 0 1 2 + 0 1 2 З результатом у трійковій несиметричній системі числення: 2 02 10 11 1 01 02 10 0 00 01 02 + 0 1 2
У трійковій симетричній системі числення З результатом в десятковій системі числення: +1 0 +1 +2 0 -1 0 +1 -1 -2 -1 0 + -1 0 +1 З результатом у трійковій симетричній системі числення: +1 00 01 1i 0 0i 00 01 -1 I1 0i 00 + -1 0 +1
Трійкова симетрична система числення Позиційна цілочисленна симетрична трійкова система числення була запропонована італійським математиком Фібоначчі (Леонардо Пізанський) (1170-1250) для вирішення «завдання про гирі». «Троичный принцип» Николая Брусенцова . Задачу про найкращу систему гир розглядав Лука Пачолі (XV ст.). Окремий випадок цього завдання був опублікований в книзі французького математика Клода Баше де Мезіріака «Збірник цікавих завдань» у 1612 р. Російський переклад книги К. Г. Баше «Ігри та завдання, засновані на математиці» вийшов у Петербурзі в 1877 р. Пізніше цим завданням займався петербурзький академік Леонард Ейлер, цікавився Д.І.Менделєєв. В Google Chrome после нажатия на PDF(333Kb) нужно стронуть одну из боковых сторон рамки браузера.И. Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. Издание второе, исправленное. Издательство «Просвещение», Москва, 1965. Глава I. Натуральное число. 7. Задача Баше — Менделеева, стр.36.Е. С. Давыдов, Наименьшие группы чисел для образования натуральных рядов, Спб., 1903, 36 стр.В. Ф. Гартц, Лучшая система для весовых гирь, Спб., 1910, 36 стр.Ф. А. Слудский, О свойствах степеней двух и трёх. «Математический сборник», ч. III, стр. 214.
Симетричність при зважуванні на важільних терезах використовували з найдавніших часів, додаючи гирю на чашку з товаром. Елементи трійкової системи числення були в системі числення стародавніх шумерів,Юрий Ревич «Наследники Бэббиджа» // «Домашний компьютер», № 12, 1 декабря 2002 года. в системах мір, ваг і грошей, в яких були одиниці рівні 3. Але тільки в симетричній трійковій системі числення Фібоначчі об'єднані ці властивості.