В обчислювальній математиці, квадратурні формули використовують для апроксимації визначеного інтеграла заданої функції. Зазвичай являють собою скінченну суму зважених значень функції в певних точках (вузлах) з області інтегрування. (більше про квадратурні формули див. чисельне інтегрування) n-точковою квадратурою Гаусса, або квадратурною формулою Гаусса (на честь Карла Гаусса), називається формула
що обчислює точне значення інтегралів для поліномів порядку не вище 2n − 1 з відповідним вибором вузлів xi і ваг wi при i = 1, …, n.
Для знаходження вузлів і ваг квадратури використовують ортогональні поліноми на інтервалі інтегрування. Вибираючи різні поліноми для різних ваг отримують різні набори вузлів і вагових коефіцієнтів. Для найпоширеніших систем зазвичай виведені аналітичні формули, тому, щоб обчислити інтеграл на довільному проміжку, можна зробити заміну змінних, і використовувати стандартні квадратури. (див. Заміна змінних)
Формули основних квадратур В наступній таблиці наведено найпоширеніші варіанти ваг і відповідних поліномів та інтервалів інтегрування Інтервал ω(x) Ортогональні поліноми Дивіться… [−1, 1] Поліноми Лежандра Квадратури Гаусса — Лежандра (−1, 1) Поліноми Чебишова (першого роду) Квадратури Гаусса — Чебишова [−1, 1] Поліноми Чебишова (другого роду) Квадратури Гаусса — Чебишова (−1, 1) Поліноми Якобі Квадратури Гаусса — Якобі [0, ∞) Поліноми Лаґерра Квадратури Гаусса — Лаґерра [0, ∞) Узагальнені поліноми Лаґерра Квадратури Гаусса — Лаґерра (−∞, ∞) Поліноми Ерміта Квадратури Гаусса — Ерміта
Квадратури Гаусса — Лежандра Один з найпоширеніших випадків, коли , тоді для знаходження вузлів і ваг використовують поліноми Лежандра Pn(x), а метод також називають квадратурою Гаусса — Лежандра. Вузли знаходять, як корені поліномів Pn(x). Аналітичного співвідношення для них немає, а для вагових коефіцієнтів n-го порядку формула має вигляд:
Значення для деяких квадратур низького порядку наведено в таблиці:
Кількість вузлів, n Точні значення Заокруглені значення Вузли, xi Ваги, wi Вузли, xi Ваги, wi 1 0 2 2 ±0.57735027 1 3 0 0.88888889 ±0.77459667 0.55555556 4 ±0.33998104 0.65214515 ±0.86113631 0.34785485 5 0 0 0.56888889 ±0.53846931 0.47862867 ±0.90617985 0.23692689
Квадратури Гаусса — Чебишова Для обчислення інтегралів на проміжку [-1;1] у випадку вагової функції використовують поліноми Чебишова першого роду Tn, вузли й ваги будуть задані співвідношеннями:
Коли ж використовують поліноми Чебишова другого роду Un, а вузли й ваги можна знайти зі співвідношень:
Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:
Кількість вузлів, n поліноми першого роду поліноми другого роду Вузли, xi Ваги, wi Вузли, xi Ваги, wi 1 0 0 2 3 0 0 4 5 0 0
Квадратури Гаусса — Якобі Для вагової функції де α і β > −1 використовують поліноми Якобі Pn(α,β)(x). В такому разі, вагові коефіцієнти можна знайти зі співвідношення:
Квадратури Гаусса — Лаґерра
Щоб порахувати інтеграл можна скористатись поліномами Лаґерра Ln. Вузли будуть коренями полінома Ln, а ваги задані формулою:
В більш загальному випадку використовують узагальнені поліноми Лаґерра Ln(α)
Квадратури Гауса — Ерміта Для обчислення інтегралу вузли квадратури xi шукають як розв'язки поліномів Ерміта (фізичної версії) Hn(x), а відповідні ваги wi можна знайти:
Формули деяких модифікованих квадратур Окрім різних вагових функцій і інтервалів інтегрування, для знаходження вузлів і ваг можуть накладатись і інші додаткові умови.
Квадратури Гаусса — Радау Квадратурою Гаусса — Радау (або квадратура Радау) називають таку n точкову квадратуру, яка точна для поліномів порядку не вище 2n-3, але початкова точка інтервалу інтегрування включена в список вузлів квадратури, тоді як визначається решта n-1 вузол. Формула для інтеграла на проміжку [–1;1] з 1-ю ваговою функцією представляється у вигляді:
Невідомі вузли xi для i = 2, …, n є коренями полінома , де Pk, k-й поліном Лежандра.
Вага для першого вузла , решта визначаються за формулою:
Залишковий член:
Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:
Кількість вузлів, n Точні значення Заокруглені значення Вузли, xi Ваги, wi Вузли, xi Ваги, wi 2 -1 0.5 0.33333333 1.6 3 -1 0.22222222 -0.28989795 1.02497165 0.68989795 0.75280613 4 -1 0.125 -0.575319 0.657689 0.181066 0.776387 0.822824 0.440924 5 -1 0.08 -0.72048 0.446208 -0.167181 0.623653 0.446314 0.562712 0.885792 0.287427
Квадратури Гаусса — Лобатто Також відомі як квадратури Лобатто, названі на честь нідерландського математика Рехюла Лобатто. Це такі n точкові квадратури, які точні для поліномів порядку не вище 2n – 3, але початкова і кінцева точки інтервалу інтегрування включена в список вузлів квадратури, тоді як визначається решта n – 2 вузли. Формула для інтеграла на проміжку [–1;1] з 1-ю ваговою функцією:
Вузли xi для i = 2, …, n-1 є i–1-ми коренями полінома P'n-1.
Перша й остання ваги , а решта:
Залишок у вигляді:
Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:
Кількість вузлів, n Точні значення Заокруглені значення Вузли, xi Ваги, wi Вузли, xi Ваги, wi 0 1.33333333 ±1 0.33333333 ±0.44721360 0.83333333 ±1 0.16666667 0 0.71111111 0.65465367 0.54444444 ±1 0.1 0.28523151 0.55485838 0.76505532 0.37847496 ±1 0.06666667
Квадратури Гаусса — Кронрода
Зміна інтервалу інтегрування Перш ніж застосувати квадратуру до інтеграла на відрізку [a, b] він має бути трансформований в інтеграл на відрізку [−1, 1]. Для цього можна здійснити перетворення координат наступним чином:
Застосувавши квадратуру Гаусса отримаємо наступну апроксимацію:
Посилання
Джерела