Безза́пахове перетво́рення ( від ) або си́гма-то́чкове перетво́рення — це математична функція, яку використовують для оцінювання результату застосування заданого нелінійного перетворення до розподілу ймовірності, описаного лише в термінах скінченного набору статистик. Найпоширенішим застосуванням беззапахового перетворення є нелінійне проєціювання оцінок середнього та коваріації в контексті нелінійних розширень фільтра Калмана. Його творець Джеффрі Ульман пояснював, що «беззапахове» () було довільною назвою, яку він добрав, щоби це не називали «фільтром Ульмана» ().

Передумови Багато методів та керування подають оцінки стану системи у вигляді вектора середнього та пов'язаної з ним коваріаційної матриці похибки. Наприклад, оцінене двовимірне положення об'єкта, що становить інтерес, може бути подано вектором середнього положення з невизначеністю, заданою у вигляді коваріаційної матриці 2×2, яка задає дисперсію за , дисперсію за , та взаємну коваріацію між ними. Нульова дисперсія означає, що невизначеності або похибки немає, і що положення об'єкта відповідає заданому вектором середнього точно.

Подання через середнє та коваріацію дає лише перші два моменти в іншому невідомого розподілу ймовірності в основі. У випадку рухомого об'єкта невідомий розподіл імовірності може подавати невизначеність положення об'єкта в заданий момент часу. Подання невизначеності через середнє та коваріацію математично зручне, оскільки до вектора середнього та коваріаційної матриці можливо застосовувати будь-яке лінійне перетворення , як та відповідно. Ця властивість лінійності не зберігається для моментів за межами першого початкового моменту (середнього) та другого центрального моменту (коваріації), тож загалом неможливо визначити середнє та коваріацію, що виникають унаслідок нелінійного перетворення, бо результат залежить від усіх моментів, а задано лише перші два.

Хоч коваріаційну матрицю і розглядають часто як математичне сподівання квадратичної похибки, пов'язаної з середнім, на практиці цю матрицю підтримують як верхню межу справжньої квадратичної похибки. Зокрема, оцінку середнього та коваріації консервативно підтримують таким чином, щоби коваріаційна матриця була більшою або рівною справжній квадратичній похибці, пов'язаній з . Математично це означає, що результат віднімання математичного сподівання квадратичної похибки (яке зазвичай невідоме) від є додатно невід'ємно визначеною або додатно визначеною матрицею. Причина підтримування консервативної оцінки коваріації полягає в тому, що більшість алгоритмів фільтрування та керування матимуть схильність розбігатися (хибити), якщо коваріацію недооцінено. Це відбувається тому, що неправдиво мала коваріація передбачає меншу невизначеність і спонукає фільтр надавати точності середнього більшої ваги (довіри), ніж виправдано.

Повертаючись до наведеного вище прикладу, за нульової коваріації визначити розташування об'єкта після його руху відповідно до довільної нелінійної функції тривіально: достатньо застосувати цю функцію до вектора середнього. За ненульової коваріації перетворене середнє загалом не дорівнюватиме , і навіть неможливо визначити середнє перетвореного розподілу ймовірності лише з його апріорних середнього та коваріації. За цієї недовизначеності нелінійно перетворені середнє та коваріацію можливо лише наближувати. Найранішим наближенням було лінеаризувати нелінійну функцію та застосовувати отриману матрицю Якобі до заданих середнього та коваріації. Це основа розширеного фільтра Калмана (РФК, ), і хоча було відомо, що за багатьох обставин він дає погані результати, протягом багатьох десятиліть практичної альтернативи не було.

Обґрунтування 1994 року Джеффрі Ульман відмітив, що РФК бере нелінійну функцію та часткову інформацію про розподіл (у вигляді оцінки середнього та коваріації) стану системи, але застосовує наближення до цієї відомої функції, а не до неточно відомого розподілу ймовірності. Він припустив, що кращим підходом було би використовувати точну нелінійну функцію, застосовану до наближеного розподілу ймовірності. Обґрунтування цього підходу наведене в його докторській дисертації, де вперше було визначено термін беззапахове перетворення ():

Іншими словами, задану інформацію про середнє та коваріацію можливо закодувати точно в наборі точок, званих си́гма-то́чками (), які, якщо розглядати їх як елементи дискретного розподілу ймовірності, мають середнє та коваріацію, рівні заданим. Цей розподіл можливо пропускати нелінійною функцією точно, застосовуючи її до кожної його точки. Середнє та коваріація перетвореного набору точок відтак подають бажану перетворену оцінку. Головна перевага цього підходу полягає в тому, що нелінійну функцію використовують повноцінно, на противагу РФК, який замінює її лінійною. Усунення потреби в лінеаризації також забезпечує переваги, незалежні від будь-якого поліпшення якості оцінювання. Однією з безпосередніх переваг є те, що беззапахове перетворення можливо застосовувати до будь-якої заданої функції, тоді як лінеаризація може бути неможливою для функцій, що не є диференційовними. Практична перевага полягає в тому, що беззапахове перетворення може бути простішим для втілення, оскільки дає змогу уникнути потреби виводити та втілювати лінеаризувальну матрицю Якобі.

Сигма-точки Щоби обчислювати беззапахове перетворення, спершу потрібно обрати набір сигма-точок. З часу публікації основоположної праці Ульмана в літературі було запропоновано багато різних наборів сигма-точок. Ґрунтовний огляд цих варіантів можливо знайти в праці Менегаза зі співавт. Загалом, щоби визначити дискретний розподіл із заданими середнім і коваріацією в вимірах, необхідно й достатньо сигма-точок.

Канонічним набором сигма-точок є , первинно запропонована Ульманом. Розгляньмо вершини рівностороннього трикутника з центром у початку координат у двох вимірах:

Можливо переконатися, що наведений вище набір точок має середнє та коваріацію (одиничну матрицю). За заданих будь-яких двовимірних середнього та коваріації бажані сигма-точки можливо отримати множенням кожної точки на квадратний корінь матриці та додаванням . Подібний канонічний набір сигма-точок можливо породити в будь-якій кількості вимірів , взявши нульовий вектор і точки, складені з рядків одиничної матриці, обчисливши середнє цього набору точок, віднявши це середнє від кожної точки, щоби отриманий набір мав нульове середнє, потім обчисливши коваріацію набору точок із нульовим середнім і застосувавши квадратний корінь з її оберненої матриці до кожної точки, щоби коваріація набору дорівнювала одиничній матриці.

Ульман показав, що симетричний набір із сигма-точок можливо зручно породжувати зі стовпців та нульового вектора, де  — задана коваріаційна матриця, без потреби обчислювати обернену матрицю. Це обчислювально ефективно і, оскільки точки утворюють симетричний розподіл, вловлює третій центральний момент (асиметрію) у тих випадках, коли розподіл в основі оцінки стану симетричний, або його можливо вважати таким. Він також показав, що для впливу на статистики цього набору можливо використовувати ваги, зокрема й від'ємні. Джулієр також розробив і дослідив методики породження сигма-точок для вловлювання третього моменту (асиметрії) довільного розподілу та четвертого моменту (ексцесу) симетричного розподілу.

Приклад Беззапахове перетворення визначено для застосування заданої функції до будь-якої часткової характеризації в іншому невідомого розподілу, але його найпоширеніше використання — випадок, коли задано лише середнє та коваріацію. Поширеним прикладом є перехід з однієї системи координат до іншої, як-от з декартової координатної сітки до полярних координат.

Припустімо, що двовимірні оцінки середнього та коваріації задано в декартових координатах як

а функцією перетворення до полярних координат є

Множення кожної з канонічних симплексних сигма-точок (наведених вище) на та додавання середнього дає

Застосування функції перетворення до кожної з наведених вище точок дає

Середнє цих трьох перетворених точок, , є оцінкою беззапаховим перетворенням середнього в полярних координатах:

Оцінкою коваріації беззапаховим перетворенням є

де кожен квадрат під сумою є діадним добутком вектора на себе. Це дає

Це можливо порівняти з лінеаризованими середнім і коваріацією:

Абсолютна різниця між оцінками за беззапаховим перетворенням та лінеаризованими оцінками в цьому випадку відносно мала, але в застосуваннях фільтрування накопичувальний ефект малих похибок може призводити до невідновного розбігання оцінки. Коли коваріацію недооцінено, вплив похибок посилюється, бо це призводить до надмірної довіри фільтра до точності середнього. У наведеному вище прикладі видно, що лінеаризована оцінка коваріації менша за оцінку беззапахового перетворення, що наводить на думку, що лінеаризація, ймовірно, дала занижену оцінку справжньої похибки свого середнього.

У цьому прикладі немає способу визначити абсолютну точність оцінок беззапахового перетворення та лінеаризації без фундаментальної істини у вигляді справжнього розподілу ймовірності, пов'язаного з початковою оцінкою, та середнього й коваріації цього розподілу після застосування нелінійного перетворення (наприклад, визначених аналітично, чи чисельним інтегруванням). Такі аналізи виконували для перетворень координат за припущення ґауссовості розподілів в основі, й оцінкам беззапахового перетворення властиво бути значно точнішими за отримані лінеаризацією.

Емпіричний аналіз показав, що, коли розподіл в основі ґауссів, використання мінімального симплексного набору з сигма-точок значно менш точне за використання симетричного набору з точок. Це наводить на думку, що використання симплексного набору в наведеному вище прикладі не було би найкращим вибором, якщо розподіл в основі, пов'язаний з , симетричний. Навіть якщо розподіл в основі не симетричний, симплексний набір усе одно, ймовірно, буде менш точним за симетричний, оскільки асиметрія симплексного набору не відповідає асиметрії справжнього розподілу.

Повертаючись до прикладу, мінімальний симетричний набір сигма-точок можливо отримати з коваріаційної матриці просто як вектор середнього плюс і мінус стовпці :

Ця побудова гарантує, що середнім і коваріацією наведених вище чотирьох сигма-точок є , що можливо перевірити безпосередньо. Застосування нелінійної функції до кожної з цих сигма-точок дає

Середнє цих чотирьох перетворених сигма-точок, , є оцінкою беззапаховим перетворенням середнього в полярних координатах:

Оцінкою коваріації беззапаховим перетворенням є

де кожен квадрат під сумою є діадним добутком вектора на себе. Це дає

Різниця між оцінками середнього беззапаховим перетворенням та лінеаризацією дає міру впливу нелінійності перетворення. Коли перетворення лінійне, наприклад, оцінки беззапаховим перетворенням і лінеаризацією будуть однаковими. Це спонукає використовувати додавання квадрата цієї різниці до коваріації беззапахового перетворення, щоби вберегтися від заниження справжньої похибки середнього. Цей підхід не покращує точності середнього, але може істотно покращувати точність фільтра з часом, зменшуючи ймовірність недооцінювання коваріації.

Оптимальність

Ульман відмітив, що за наявності лише середнього та коваріації в іншому невідомого розподілу ймовірності задача перетворення є погано визначеною, оскільки існує безліч можливих розподілів в основі з тими самими першими двома моментами. За відсутності жодної апріорної інформації чи припущень щодо характеристик розподілу в основі будь-які розподіли, використовувані для обчислення перетворюваних середнього та коваріації, однаково обґрунтовані. Іншими словами, немає вибору розподілу із заданими середнім і коваріацією, який був би кращим за той, що надається набором сигма-точок, тому беззапахове перетворення тривіально оптимальне.