Трикутник Паскаля — це геометрично, на зразок трикутника, розміщені біноміальні коефіцієнти. Це математичне поняття названо на честь Блеза Паскаля. Таку назву вживають переважно в західному світі, адже математики Індії, Персії, Китаю та Італії знали цей трикутник ще за кілька століть перед Паскалем.
Ряди трикутника Паскаля умовно пронумеровані згори, починаючи з нульового, й числа в нижньому ряді відносно чисел у попередньому ряді завжди розміщені ступінчасто й навскіс. Побудувати цей трикутник просто. Кожне число в кожному ряді одержуємо, додавши два числа, розміщені вгорі (зліва і справа). Якщо зліва або справа немає числа, підставляємо нуль на його місце. Наприклад, перше число в першому ряді 0 + 1 = 1, тоді як числа 1 і 3 в третьому ряді утворюють число 4 в четвертому ряді: 1 + 3 = 4.
Правило Паскаля стверджує: якщо
k-й біноміальний коефіцієнт в біноміальному ряді для (x + y)n, тоді
для будь-якого додатного цілого n і будь-якого цілого k між 0 і n.
Шаблони і властивості
Трикутник Паскаля має багато властивостей і містить багато числових шаблонів.
Рядки
Сума елементів кожного рядка є подвоєна сума попереднього. Це тому, що кожен елемент рядка творить два елементи наступного рядка. Сума елементів рядка дорівнює . Добуток елементів рядка, послідовність таких добутків стосується основи натурального логарифма, e... А саме, визначимо послідовність sn так:
Тоді співвідношення послідовних добутків рядків є
і співвідношення цих співвідношень є
Правий бік цього рівняння набуває форми визначення e через границю
Значення рядка, якщо кожен елемент розглядати як десятковий розряд ( і числа більші ніж 9 переносити відповідно) є степенем 11 ( , для рядка ). Отже, у рядку 2, стає 112, тоді як у п'ятому рядку стає (після перенесень) 161,051, тобто 115. Цю властивість пояснюють встановлюючи у біноміальному розкладі , і припасовуючи значення до десяткової системи. Але можна обрати так, щоб рядки представляли значення в будь-якій основі. У трійковій:
За основою 9:
Зокрема, для значення в позиціях залишаються сталими (1позиція=1). Отже, їх можна просто додати. Сума квадратів елементів рядка дорівнює середньому елементу рядка . Наприклад, 12 + 42 + 62 + 42 + 12 = 70. У загальній формі:
Іншим цікавим шаблоном є те, що для будь-якого рядка , де є парним, середній елемент мінус елемент на дві позиції ліворуч дорівнює числу Каталана, а саме му числу Каталана. Наприклад: на четвертому рядку, , що є третім числом Каталана і . Також цікавою властивістю є те, що в рядку де це просте число, всі елементи рядка діляться на . Це можна легко довести, оскільки якщо , тоді не має дільників окрім 1 і себе. Кожен елемент трикутника це ціле число, тоді за визначенням і це дільники . Однак, власне не може з'явитись у дільнику, отже (або його кратне) повинно залишитись у чисельнику. Парність: Щоб порахувати кількість непарних чисел у рядку , переведіть у двійкову систему. Нехай буде кількістю одиничок у двійковому представленні. Тоді кількість непарних елементів буде .. Дивись зокрему Теорему 2, яка дає узагальнення для всіх простих модулів. Кожен елемент у рядку 2n-1, n ≥ 0, є непарним.. Hinz приписує це спостереження книзі 1891 року Франсуа Едуард Анатоль Люка, Théorie des nombres (p. 420). Полярність: Інший цікавий шаблон, кожен парний рядок трикутника Паскаля дорівнює нулю, якщо взяти середній елемент, потім відняти цілі наступні біля центрального, тоді додати наступні цілі і т.д. Приклад, рядок 4 такий, 1 4 6 4 1, отже формула буде така 6 - (4+4) + (1+1) = 0, рядок 6 такий 1 6 15 20 15 6 1, тому маємо 20 - (15+15) + (6+6) - (1+1) = 0.
Діагоналі
Діагоналі трикутника Паскаля містять фігурні числа сімплексів: Діагоналі уздовж лівого і правого ребер містять лише 1-ці. Наступні діагоналі містять натуральні числа по порядку. Рухаючись далі, наступна пара діагоналей містить трикутні числа по порядку. Наступна пара діагоналей містить тетраедричні числа по порядку і наступна дає числа п'ятиклітинника.
Загальні шаблони і властивості
Шаблон отриманий фарбуванням лише непарних чисел у трикутнику Паскаля дуже нагадує фрактал відомий як трикутник Серпінського. Ця схожість стає все більш точною з додаванням нових рядків; при переході до границі, коли кількість рядків наближається до нескінченності, результовний шаблон є трикутником Серпінського. Загальніше, числа можна розфарбовувати різноманітно, відповідно до того чи діляться вони на 3, 4 і т.д.; це дає подібні шаблони.
Якщо рядки трикутника Паскаля вирівняти по лівому боку, тоді діагональні смуги (виділені кольором) сумуються у числа Фібоначчі. {| style="align:center;" |- align=center |bgcolor=red|1 |- align=center | style="background:orange;"|1 | style="background:yellow;"|1 |- align=center | style="background:yellow;"|1 |bgcolor=lime|2 |bgcolor=aqua|1 |- align=center |bgcolor=lime|1 |bgcolor=aqua|3 | style="background:violet;"|3 |bgcolor=red|1 |- align=center |bgcolor=aqua|1 | style="background:violet;"|4 |bgcolor=red|6 | style="background:orange;"|4 | style="background:yellow;"|1 |- align=center | style="background:violet;"|1 |bgcolor=red|5 | style="background:orange;"|10 | style="background:yellow;"|10 |bgcolor=lime|5 |bgcolor=aqua|1 |- align=center |bgcolor=red|1 | style="background:orange;"|6 | style="background:yellow;"|15 |bgcolor=lime|20 |bgcolor=aqua|15 | style="background:violet;"|6 |bgcolor=red|1 |- align=center | style="background:orange; width:40px;"|1 | style="background:yellow; width:40px;"|7 | style="background:lime; width:40px;"|21 | style="background:aqua; width:40px;"|35 | style="background:violet; width:40px;"|35 | style="background:red; width:40px;"|21 | style="background:orange; width:40px;"|7 | style="background:yellow; width:40px;"|1
Біноміальні коефіцієнти Трикутник Паскаля визначає коефіцієнти, що виникають при біноміальному розкладі. Наприклад: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = 1a2b0 + 2a1b1 + 1a0b2. Звернемо увагу, що утворені коефіцієнти - це числа в другому рядку трикутника Паскаля. Зазвичай, коли ми підносимо до цілого додатнього степеня n поліном вигляду (a + b) ми маємо: (a + b)n = c0an + c1an−1b + c2an−2b2 + ... + cn−1abn−1 + cnbn, де коефіцієнти ci - це числа в n-му рядку трикутника Паскаля. Іншими словами: Можна побачити, що ми отримали біноміальну теорему. Звернемо увагу, що вся діагональ трикутника справа відповідає коефіцієнту перед bn, наступна діагональ відповідає коефіцієнту перед abn−1 і так далі. Для того щоб побачити, як біноміальна теорема безпосередньо відноситься до трикутника Паскаля розглянемо як рахуються коефіцієнти перед елементом (a + 1)n (де b = 1 ).
Розглянемо:
Ці дві суми можуть бути записані наступним чином:
Тепер ми маємо вираз для многочленів вигляду (a + 1)n+1 в термінах коефіцієнтів для (a + 1)n.Це і є те, що нам потрібно.
Нагадаємо, що всі числа на діагоналі, що йдуть від верхнього лівого до нижнього правого відповідають коефіцієнтам біля bn. Звідси маємо, що для того щоб знайти будь-який не нульовий або (n+1) коефіцієнт необхідно просумувати елементи які знаходяться у рядку вище зліва та справа. Це основне правило побудови трикутника Паскаля. Цікавим є те, що якщо ми візьмемо a та b рівними одиниці, то (1 + 1)n = 2n. Звідси маємо:
Іншими словами сума елементів в n-му рядку трикутника Паскаля дорівнює
Див. також Послідовність Ґулда Центральний біноміальний коефіцієнт
Примітки
Джерела