Асимптотичний розклад функції f(x) — формальний функціональний ряд такий, що сума довільної скінченної кількості членів цього ряду апроксимує функцію f(x) в околі деякої (можливо нескінченно віддаленої) її граничної точки. Поняття асимптотичного розкладу функції і асимптотичного ряду були введені Анрі Пуанкаре при розвязуванні задач небесної механіки. Окремі випадки асимптотичного розкладу були відкриті і застосовувалися ще в 18 ст. Асимптотичні розклади і ряди відіграють важливу роль в різних задачах математики, механіки і фізики.
Означення
Нехай функції задовольняють властивість: для деякої граничної точки L області визначення функції f(x). Послідовність функцій , що задовольняє вказані умови називається асимптотичною послідовністю. Ряд:
для якого виконуються умови
чи еквівалентно:
називається асимптотичним розкладом функції f(x) або її асимптотичним рядом.
Цей факт позначається:
Асимптотичний розклад Ердеї
Більш загально визначається асимптотичний розклад Ердеї. Ряд називається асимптотичним розкладом Ердеї функції f(x), якщо існує така асимптотична послідовність ,що
Цей факт позначається:
Такий узагальнений розклад має багато спільних властивостей із звичайним асимптотичним розкладом проте теорія такий розкладів не є добре вивченою і багато з них є малокорисними для числових обчислень, що спричинило невелике їх використання.
Приклади Гамма-функція
Інтегральна показникова функція
Дзета-функція Рімана
де — числа Бернуллі і . Цей розклад справедливий для всіх комплексних s.
Функція помилок
Прикладом асимптотичного розкладу Ердеї, що не є звичайним розкладом єRoderick Wong. Asymptotic approximations of integrals. Academic Press, London, 1989 ст. 13:
Примітки
Література
Вступ до асимптотичних методів: Інтеграли та ряди : конспект лекцій / О. В. Барабаш. – К. : Київський ун-т, 2010. – 111 с.