Означення Лінійне рівняння - рівняння вигляду , де: - коефіцієнт при змінній ; - вільний член. Розв'язки Проаналізуємо розв'язки лінійного рівняння. Якщо , то наше рівняння називатиметься рівнянням першого степеня з однією змінною. Його розв'язок .

Якщо ж , то матимемо два випадки: . У цьому випадку наше лінійне рівняння виглядає так: . Розв'язків матимемо нескінченно багато. . Утворене рівняння коренів не має, оскільки на нуль ділити не можна.

Рівняння, що зводяться до лінійних Такі рівняння, як

,

,

до лінійних не відносяться, але можуть такими стати. Розглянемо це на прикладах. Приклад 1 Розв'язати рівняння . Розв'язання Зведемо подібні доданки. Отримаємо рівняння . А таке рівняння має розв'язок .

Відповідь. Приклад 2 Розв'язати рівняння . Розв'язання Знайдемо НСК (2;5). НСК (2;5) = 2 • 5 = 10. Перший дріб помножимо на 5 (10 : 2 = 5), а другий - на 2. Отримаємо рівняння

.

Прибираємо знаменники й отримуємо: . Далі розв'язуємо, як описано у прикладі 1.

Відповідь. .

Приклад 3 Розв'язати рівняння Розв'язання Згідно з означенням модуля (а рівняння з модулем) ліва частина рівняння, узята без модуля, дорівнює або 20, або -20. Таким чином, треба розв'язати два лінійних рівняння. 1-е рівняння

2-е рівняння

Відповідь. .

Розглянемо складніший випадок.

Завдання 4 Розв'язати рівняння: .

Розв'язання У цьому рівнянні можливі два випадки: або знаки обох сторін рівняння збігаються (в обох "плюс" або "мінус"), або різняться (в одному "плюс", а в іншому - "мінус", і навпаки). Отже, як і в прикладі 3, нам треба розв'язати два рівняння.

1-е рівняння

2-е рівняння

Відповідь.

Завдання 1. Розв'язати рівняння:

2. На обох причепах піску порівно. Коли з першого взяли 7 кг піску, а в другий насипали 13 кг, то на першому причепі стало у 5 разів менше піску, ніж на другому. По скільки кілограмів піску було на кожному причепі спочатку?

3. Я загадав два числа. Друге число у 5 разів менше від першого. Якщо до другого числа додати 13, то воно стане у півтора раза більше від першого. Які числа я загадав?

4. Зі сталою швидкістю автомобіль доїде з пункту А до пункту В за 1 год 15 хв. Якщо автомобіль їхатиме з тією ж швидкістю 2 год, то потрапить до пункту С, який знаходиться далі від В на 4,5 км. Визначте швидкість автомобіля.

5. Зараз брат старший від сестри на 5 років. 5 років тому він був старший від сестри у 3 рази. Скільки зараз років його сестрі?

6*. Батько старший від сина у стільки років, скільки батьку років. Скільки років сину?