Група кубика Рубіка — підгрупа симетричної групи S48, елементи якої відповідають рухам кубика Рубіка. Під рухом йдеться про поворот однієї з граней або послідовність таких поворотів.
Визначення У 3×3×3 кубика 6 граней по 9 етикеток, але центральні етикетки граней при будь-яких рухах залишаються на своїх місцях.
Позначимо центри граней літерами (див. малюнок), а інші етикетки — числами від 1 до 48.
Тепер поворотам відповідних граней на 90° за годинниковою стрілкою ми можемо зіставити елементи симетричної групи етикеток кубика Рубіка, які не є центрами граней:
Тоді група кубика Рубіка визначається як підгрупа , породжена поворотами шести граней на 90°:
Властивості Порядок групи дорівнює
Нехай — граф Келі групи з 18 утворюючими, які відповідають 18 ходам метрики FTM.
Кожна з конфігурацій може бути вирішена не більше ніж за 20 ходів FTM. Іншими словами, ексцентриситет вершини графу , яка відповідає «зібраному» стану головоломки, дорівнює 20.
Діаметр графу також дорівнює 20.
Найбільший порядок елемента в дорівнює 1260. Наприклад, послідовність ходів необхідно повторити 1260 разів, перш ніж кубик Рубіка повернеться до початкового стану.
не є абелевою групою, оскільки, наприклад, . Іншими словами, не всі пари поворотів комутують.
Підгрупи
Група квадратів Група квадратів (square group) — підгрупа групи , породжувана поворотами граней на 180°:
Порядок групи квадратів дорівнює 663 552.
Група квадратів використовується в алгоритмі Тістлетуейта, за допомогою якого вдалося довести достатність 45 ходів для складання кубика Рубика.
Центр групи Центр групи складається з елементів, що комутують з кожним елементом групи. Центр групи кубика Рубіка складається з двох елементів: тотожна перестановка та .
Супергрупа кубика Рубіка Етикетки, що знаходяться в центрах граней кубика Рубіка, не переміщаються, але повертаються. На звичайному кубику Рубіка орієнтація центрів граней невидима.
Група всіх рухів кубика Рубіка з видимими орієнтаціями центрів граней називається супергрупою кубика Рубика. Вона в разів більше групи .
Гамільтонів цикл на графі Келі На графі Келі групи з 12 утворюючими, які відповідають ходам метрики QTM, існує гамільтонів цикл. Знайдений цикл використовує повороти лише 5 з 6 граней.
Існує відповідна гіпотеза Ласло Ловаса для довільного графа Келі.
Див. також Гамільтонів граф Граф Келі Математика кубика Рубіка Нормальна підгрупа Перестановка Теорія груп
Примітки
Джерела
Посилання