Теоре́ма Піфаго́ра (Пітаго́ра) — одна із засадничих теорем евклідової геометрії, яка встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Уважається, що її довів грецький математик Піфагор, на чию честь її й названо (є й інші версії, зокрема думка, що цю теорему в загальному вигляді було сформульовано математиком-піфагорійцем Гіппасом).
Теорема Теорема звучить так:
Позначивши довжину гіпотенузи трикутника як , а довжини катетів як та , отримаємо такі формули: ,
.
Отже, теорема Піфагора встановлює співвідношення, яке дає змогу визначити довжину сторони прямокутного трикутника, знаючи довжини двох інших. Відповідно, в алгебраїчній інтерпретації теорему можна сформулювати так:
Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів, яка визначає співвідношення між сторонами довільного трикутника.
Доведено також зворотне твердження (називають також зворотною до теореми Піфагора):
Історія
Історію теореми можна розділити на чотири частини: знання про Піфагорові числа, знання про відношення сторін у прямокутному трикутнику, знання про відношення суміжних кутів і доведення теореми.
Мегалітичні споруди близько 2500 до н. е. в Єгипті та Північній Європі містять прямокутні трикутники зі сторонами з цілих чисел. Бартель ван дер Варден висловив гіпотезу, що в ті часи Піфагорові числа були знайдені алгебраїчно.Van der Waerden 1983.
Написаний між 2000 та 1876 до н. е. папірус часів Середнього Єгипетського царства Berlin 6619 містить задачу, розв'язком якої є числа Піфагора.
Написана під час правління Хамурапі Великого (між 1790 і 1750 до н.е) вавилонська табличка Plimpton 322 містить багато записів, тісно пов'язаних з числами Піфагора.
У сутрах , які датуються за різними версіями 8-им чи 2-им століттям до н. е. в Індії, містяться Піфагорові числа, виведені алгебраїчно, формулювання теореми Піфагора та геометричне доведення для рівнобедреного прямокутного трикутника.
У сутрах Апастамби (близько 600 до н. е.) міститься числове доведення теореми Піфагора з використанням обчислення площі. Ван дер Варден уважає, що воно було засноване на традиціях попередників. Згідно з Альбертом Бурком, це оригінальне доведення теореми, і він припускає, що Піфагор відвідав Араконам і скопіював його.
Піфагор, роки життя якого зазвичай приймають за 569 — 475 до н. е., використовує алгебраїчні методи розрахунку піфагорових трійок, згідно з Прокловими коментарями до Евкліда. Прокл, однак, жив між 410 і 485 роками н. е. Згідно з Томасом Гізом, немає ніяких вказівок на авторство теореми протягом п'яти століть після Піфагора. Однак такі автори, як Плутарх або Цицерон, приписали теорему Піфагору у такий спосіб, ніби авторство було широко відоме і безсумнівне.Heath, Vol I, p. 144
Близько 400 до н. е. згідно з Проклом, Платон дав метод розрахунку піфагорових трійок, що поєднував алгебру та геометрію. Близько 300 до н. е., в «Началах» Евкліда маємо найдавніше аксіоматичне доведення, яке збереглося до наших днів.
Написана десь між 500 до н. е. і 200 до н. е., китайська математична книга «Чу Пей» () дає візуальне доведення теореми Піфагора, яка в Китаї називається теорема Гугу (), для трикутника із сторонами (3, 4, 5). Під час правління династії Хань, з 202 до н. е. до 220 н. е. Піфагорові трійки з'являються в книзі «Математика в дев'яти книгах» разом із згадкою про прямокутні трикутники.Swetz
Вперше зафіксовано використання теореми в Китаї, де вона відома як теорема Гугу (), та в Індії, де вона відома як теорема Баскара.
Багато дискутується, чи була теорема Піфагора відкрита один раз чи багато разів. Боєр (1991 р.) уважає, що знання, виявлені в Шульба Сутрах, можуть бути месопотамського походження.Boyer (1991). «China and India»
Доведення
Алгебраїчне доведення
Відомо понад сто доведень теореми Піфагора.
Тут представлено доведення, засноване на теоремі існування площі фігури:
Розташуємо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено на рисунку. Чотирикутник зі сторонами є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів , а розгорнутий кут — . Площа всієї фігури рівна, з одної сторони, площі квадрата зі стороною , а з іншої — сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.
Що і необхідно було довести.
За подібністю трикутників
Нехай — прямокутний трикутник, в якому кут прямий, як показано на рисунку. Проведемо висоту з точки і назвемо точку перетину зі стороною . Утворений трикутник подібний до трикутника , оскільки вони обидва прямокутні (за визначенням висоти) і в них спільний кут , очевидно, третій кут буде в цих трикутників також однаковий. Аналогічно, трикутник також подібний до трикутника . З подібності трикутників: Якщо , тоді та . Це можна записати у вигляді та . Якщо додати ці дві рівності, отримаємо . Іншими словами, теорема Піфагора: .
Доведення Евкліда
В Евклідових «Началах» теорема Піфагора доведена методом паралелограмів. Нехай , , — вершини прямокутного трикутника з прямим кутом . Опустимо перпендикуляр з точки на сторону, протилежну до гіпотенузи в квадраті, побудованому на ній. Лінія ділить квадрат на два прямокутники, кожен з яких має таку саму площу, що й квадрати, побудовані на катетах. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються на паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються на прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.
Для формального доведення нам необхідні чотири елементарні леми: Якщо дві сторони одного трикутника і кут між ними дорівнюють відповідно двом сторонам та куту між ним іншого трикутника, то такі трикутники рівні (сторона-кут-сторона). Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма, що має таку саму основу і таку саму висоту. Площа прямокутника дорівнює добутку двох суміжних сторін. Площа квадрата дорівнює добутку двох його сторін (випливає з третьої леми). Тоді кожен верхній квадрат пов'язаний з трикутником, конгруентним з іншим трикутником, який пов'язаний поворотом з одним із двох прямокутників, що утворюють нижній квадрат.See for example Mike May S.J., Pythagorean theorem by shear mapping , Saint Louis University website Java applet
Перейдемо до доведення: Нехай — прямокутний трикутник з прямим кутом . На кожній стороні , , і побудуємо квадрати , та в такому ж порядку. Побудова квадратів тут же вимагає попередньої теореми Евкліда і залежить від постулату паралельності. З точки проводимо пряму, паралельну до і . Вона перпендикулярно перетне відрізки та в точках та , відповідно. Проведемо відрізки і , отримаємо трикутники і . Кути і — прямі; відповідно точки , і — колінеарні. Так само , і . Кути і — обидва прямі; тоді кут дорівнює куту , оскільки обидва є сумою прямого кута та кута . Трикутники та рівні за двома сторонами та кутом між ними. Оскільки точки , і — колінеарні, площа прямокутника дорівнює двом площам трикутника (). Аналогічно міркуючи, отримаємо . З одного боку, площа дорівнює сумі площ прямокутників та , а з іншого боку, це площа квадрата , або .
Використовуючи диференціали
До теореми Піфагора можна прийти розглядом залежності величини гіпотенузи від приросту сторони (див. малюнок праворуч), застосувавши невелике обчислення.
У результаті приросту сторони з подібних трикутників для нескінченно малих приростів: . Застосуємо розділення змінних.
Інтегруючи, отримаємо: . Якщо тоді , тож «константа» — . Тоді . Як можна побачити, квадрати отримано завдяки пропорції між приростами та сторонами, тоді як сума є результатом незалежного внеску приростів сторін, що не очевидно з геометричних доведень. У цих рівняннях і , відповідно, — нескінченно малі прирости сторін і . Але замість них ми використовуємо і , тоді границя їхнього відношення, якщо вони прямують до нуля, дорівнює (похідній) і також дорівнює (відношенню довжин сторін трикутників), в результаті чого отримуємо диференціальне рівняння.
Застосування і наслідки теореми
Піфагорові трійки
Піфагорові трійки — це три натуральні числа , та такі, що виконується рівність . Іншими словами, Піфагорові трійки — це сторони прямокутного трикутника, якщо всі вони є цілими. На мегалітичних спорудах в північній Європі є свідчення, що відомості про такі трійки були відомі до винайдення писемності. Такі трійки зазвичай записують у вигляді Деякі найвідоміші приклади: та
Примітивними Піфагоровими числами називають такі , та , які є взаємно простими (найбільший спільний дільник , та дорівнює 1)
Нижче наведено перелік примітивних Піфагорових чисел менших від 100:
(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97). Найкраще запам'ятовуються такі Піфагорові числа (менші від 100): (3, 4, 5), (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (18, 24, 30), (21, 28, 35), (24, 32, 40), (27, 36, 45), (30, 40, 50), (33, 44, 55), (36, 48, 60), (39, 52, 65), (42, 56, 70), (45, 60, 75), (48, 64, 80), (51, 68, 85), (54, 72, 90), (57, 76, 95), (60, 80, 100). Ці трійки утворюються множенням першої трійки чисел (3, 4, 5) на числа 2, 3, 4, 5 тощо.
Неспівмірні довжини
Одним з наслідків теореми Піфагора є те, що відрізки на лінії, довжина яких є неспівмірною (тобто, співвідношення між якими дає ірраціональне число), можуть бути побудовані за допомогою лінійки та циркуля. Теорема Піфагора дає змогу побудувати неспівмірні довжини через те, що гіпотенуза трикутника пов'язана з його сторонам через корінь квадратний.
Малюнок справа демонструє, як побудувати відрізки, довжина яких у співвідношенні дає корінь квадратний будь-якого цілого числа. Кожен трикутник має сторону (позначену «1»), довжина якої є вибрана одиниця вимірювання. На кожному прямокутному трикутнику завдяки теоремі Піфагора отримуємо довжину гіпотенузи, виражену у вибраних одиницях. Якщо гіпотенуза пов'язана з одиницею вимірювання через квадратний корінь з додатним цілим числом, що не є піднесенням до квадрата, тоді ми отримуємо реалізацію неспівмірності для цієї одиниці. Наприклад, , , .
Неспівмірні величини конфліктують з концепцією школи Піфагора про те, що всі числа є цілими. Школа Піфагора давала собі раду з дробами, порівнюючи кратні числа, які мали спільний дільник. Згідно з однією легендою, Гіппаса з Метапонту (близько 470 до н. е.) втопили в морі через те, що він розказував про існування ірраціональних чи неспівмірних величин.Heath 1921, Vol I, pp. 65; Див. A careful discussion of Hippasus' contributions is found in
Евклідова відстань у різних координатних системах
Формулу відстані між точками в декартовій системі координат отримуємо з теореми Піфагора. Якщо маємо точки на площині і , то відстань між ними, яка також називається Евклідова відстань, можна обчислити так:
.
Або, узагальнюючи для n-вимірного Евклідового простору, для відстані між двома точками та можна сформулювати загальніший випадок теореми Піфагора:
Якщо не можна використати Декартові координати, наприклад, у випадку полярних координат, або в загальнішому випадку, якщо треба використати криволінійні координати, формули для розрахунку Евклідової відстані складніші, ніж теорема Піфагора, але можуть бути виведені з її допомогою. Типовий приклад, коли формула відстані між двома точками приведена до криволінійних координат, можна побачити при застосуванні полінома Лежандра у фізиці. Ці формули можна знайти, використовуючи Теорему Піфагора разом із формулами зв'язку криволінійних координат з декартовими. Наприклад, полярні координати можна записати так:
.
Тоді відстань між двома точками та дорівнює
.
Якщо піднести до степеня й об'єднати змінні, отримаємо формулу для визначення відстані між точками у полярних координатах: , використовуючи формули перетворення добутків функцій. Цю формулу, що є теоремою косинусів, іноді називають узагальненою теоремою Піфагора., Exercises, page 116