Теорему перпендикулярних осей — можна використати для визначення моменту інерції твердого тіла, що цілком лежить у площині, щодо осі перепендикулярної до цієї площини, якщо ми знаємо моменти інерції об'єкта щодо двох перпендикулярних осей, які лежать в площині. Всі осі мають проходити через одну точку в площині.
Визначимо перпендикулярні осі , і (які зустрічаються в початку координат ) так, що тіло лежить в площині і вісь перпендикулярна до площини тіла. Нехай Ix, Iy і Iz це моменти інерції щодо x, y, z відповідно, теорема перпендикулярних осей стверджує, що
Це правило можна застосовувати із теоремою Гюйгенса — Штейнера і правилом розтягнення для віднайдення моментів інерції різних форм.
Виведення Говорячи про декартові координати, момент інерції плоского тіла навколо осі є:
В площині, , отже ці два доданки є моментами інерції навколо осей і відповідно, звідки теорема. Зворотне твердження виводиться подібним чином.
Зауважте, що бо в , r вимірює відстань від осі обертання, отже у випадку обертання навколо осі y, відхилення точки від осі обертання дорівнює її x-координаті.
Див. також Теорема Гюйгенса — Штейнера (паралельних осей)
Примітки