Дзе́та-фу́нкція Рі́мана визначена за допомогою ряду: . В області цей ряд збіжний, є аналітичною функцією і допускає аналітичне продовження на всю комплексну площину без одиниці. В цій області також правильне представлення у вигляді нескінченного добутку (тотожність Ейлера) , де добуток береться за всіма простими числами p. Ця рівність є однією з основних властивостей дзета-функції.
Властивості
Існують явні формули для значень дзета-функції в парних цілих точках: , де — число Бернуллі. Зокрема, , . Про значення дзета-функції в непарних цілих точках відомо мало: припускають, що вони є ірраціональними і навіть трансцендентними, але поки що доведено лише ірраціональність числа (Роже Апері, 1978). Є також результати, які показують, що серед деякої множини значень дзета-функції в таких непарних точках є хоча б одне ірраціональне. При
де — функція Мебіуса
де — кількість дільників числа
де — кількість простих дільників числа допускає аналітичне продовження на всю комплексну -площину і є регулярною функцією для всіх значень , крім , де вона має простий полюс із лишком, рівним 1. Аналітичне продовжена дзета-функції при задовольняє рівняння: , де — гамма-функція Ейлера. Це рівняння називається функціональним рівнянням Рімана. Для функції
введеною Ріманом для дослідження і званої ксі-функцією Рімана, це рівняння набуває вигляду
Нулі дзета-функції
Як випливає із функціонального рівняння Рімана, у півплощині , функція має лише прості нулі у від'ємних парних точках: . Ці нулі називаються «тривіальними» нулями дзета-функції. Далі при дійсних . Таким чином, усі «нетривіальні» нулі дзета-функції є комплексними числами, і мають властивість симетрії відносно дійсної осі і відносно вертикалі і лежать у смузі , яка називається критичною смугою. Гіпотеза Рімана полягає в тому, що всі «нетривіальні» нулі дзета-функції розташовані на прямій .
Узагальнення
Існує досить багато спеціальних функцій, пов'язаних із дзета-функцією Рімана, які об'єднуються загальною назвою дзета-функції і є її узагальненнями. Наприклад:
Дзета-функція Гурвіца:
яка збігається з дзета-функцією Рімана при q = 1 (оскільки сумування ведеться від 0, а не від 1).
Полілогарифм:
який збігається з дзета-функцією Рімана при z = 1.
яка збігається з дзета-функцією Рімана при z = 1 і q = 1 (оскільки сумування ведеться від 0, а не від 1).
Історія
Як функцію дійсної змінної, дзета-функцію ввів 1737 року Ейлер, який і вказав її розклад у добуток.
Потім цю функцію розглядав Діріхле і, особливо успішно, Чебишо́вим при вивченні закону розподілу простих чисел.
Проте найглибші властивості дзета-функції виявлено пізніше, після праць Рімана (1876), де дзета-функцію розглянуто як функцію комплексної змінної.
Формула добутку Ейлера Зв'язок між дзета-функцією і простими числами відкрив Ейлер, який довів таку тотожність:
де лівий бік — це , а нескінченний добуток праворуч містить усі прості числа:
Обидва боки формули Ейлера збігаються якщо . Доведення тотожності Ейлера використовує лише геометричні ряди і основну теорему арифметики. З того, що гармонічний ряд при розбіжний, випливає, що формула Ейлера (яка набуває виду ) тягне за собою існування нескінченної кількості простих чисел.
Формулу добутку Ейлера можна використати, щоб обчислити асимптотичну ймовірність того, що випадково вибраних цілих чисел помножинно взаємно прості. Інтуїтивно, ймовірність того, що будь-яке окремо взяте число ділиться на просте (або на будь-яке ціле число), становить . Отже, ймовірність, що кожне з чисел ділиться на це число становить , а ймовірність, що хоча б одне ні становить . Тепер, для різних простих чисел, ці події подільності взаємно незалежні, бо кандидати на дільники взаємно прості (число ділиться на взаємно прості дільники і тоді і тільки тоді, коли число ділиться на , подія, що відбувається з ймовірністю ). Отже, асимптотична ймовірність того, що чисел взаємно прості задається через добуток що включає всі прості,
(Щоб довести цей результат формально потрібно більше роботи).
Див. також Дзета-функції Дзета-функція Гурвіца Формула сумування Абеля Список об'єктів, названих на честь Бернгарда Рімана
Примітки
Джерела