Розв'язки Йоста — розв'язки одновимірного рівняння Шредінгера з потенціалом, що спадає до нуля на нескінченності, у випадку неперервного спектра енергій. Часто використовується в задачах на розсіяння, а також в теорії солітонів (метод оберненої задачі).
Математичне означення В одновимірному випадку гамільтоніан має вигляд (при зведенні до безрозмірнісних змінних):
де потенціал — локально інтегровна функція, визначена на множині дійсних чисел.
У випадку неперервного спектра маємо:
де — власні значення гамільтоніана (енергія), — власні функції (хвильова функція).
Якщо на потенціал накладено такі умови: — спадає на нескінченності швидше ніж ; — не має сингулярностей сильніше ; тоді для дійсних значень введемо розв'язки які задовольняють граничну умову:
дані розв'язки названо розв'язками Йоста на честь швейцарського фізика Реса Йоста який перший запропонував їх.
Функції тільки від , тобто визначені в конкретній точці простору (часто в нулі чи на нескінченності), називають функціями Йоста, хоча багато авторів вживають обидва вирази на позначення .
Для всіх (комплексних), з накладеною умовою , і для , який задовольняє умови накладені вище, існують розв'язки (і вони єдині) рівняння Шредінгера які задовольняють такі інтегральні рівняння:
причому дані розв'язки неперервні по при і аналітичні при .
Рівняння для розв'язків Йоста можна отримати безпосередньо з граничних умов і рівняння Шредінгера за допомогою функції Гріна в вигляді:
Використання Багато інших задач приводиться до одновимірного рівняння Шредінгера. Зокрема задача розсіяння на центральному потенціалі в трьохвимірному просторі зводиться до такого рівняння для радіальної функції в S-стані: . В такому випадку умови на потенціал відмінні від наведених вище і мають вигляд: — при не має сингулярності сильніше ; — спадає на нескінченності швидше ніж ;
Розв'язок Йоста задовольняє рівняння: : при цьому: .
Функція теж є розв'язком рівняння, і цей розв'язок є лінійно незалежним від .
Функція Йоста визначена як , грає важливу роль в теорії розсіяння, зокрема через неї виражається матриця розсіяння : .
Джерела
Примітки