Зміст Наступна __ОБОВ_ЗМІСТ__ Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних Часто вдається виразити всі тригонометричні функції, які входять в рівняння, через одну і зробити заміну, яка зведе дане рівняння до квадратного. Приклад 1. Розв’язати рівняння . Розв’язання. Використавши основну тригонометричну тотожність, маємо: . Позначимо . Отримаємо квадратне рівняння , яке має два корені: , . Другий корінь не підходить, так як при будь-якому значенні . Розв’язуючи рівняння , знаходимо, що , . Приклад 2. Розв’язати рівняння . Розв’язання. Використовуючи (43), виразимо через . Отримаємо рівняння: . На множині , воно рівносильне рівнянню , або . Виконаємо заміну . Маємо: , або . Звідси , тобто . Відповідно, , . Вправи Розв’язати рівняння. 81. . 82. . 83. . 84. . 85. . 86. . 87. . 88. . 89. . 90. . 91. . 92. . 93. .
Однорідні тригонометричні рівняння та рівняння, що зводяться до них Рівняння вигляду , де – дійсні числа і сума показників степенів при та у кожному доданку дорівнює , називається однорідним відносно та . Такі рівняння при рівносильні рівнянням . За допомогою тотожних перетворень деякі тригонометричні рівняння можна звести до однорідних. Приклад 3. Розв’язати рівняння . Розв’язання. Для того, щоб звести дане рівняння до однорідного, використаємо основну тригонометричну тотожність (14). Маємо: . Після зведення подібних членів отримуємо: . Розділивши обидві частини рівняння на , переходимо до еквівалентного рівняння , яке звідне до квадратного рівняння. Зробимо заміну , тоді , звідки , . Врахувавши це, маємо розв’язки: , , , . Приклад 4. Розв’язати рівняння . Розв’язання. Перенесемо у ліву частину і поділимо обидві частини рівняння на . Маємо: , , звідси , . Вправи Розв’язати рівняння: 94. . 95. . 96. . 97. . 98. . 99. . 100. . 101. . 102. . 103. . 104. . 105. . 106. . 107. . 108. . 109. . 110. . 111. . 112. . 113. Знайти розв’язки рівняння для всіх .
Зміст Наступна