ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА ТА КОМП'ЮТИНГ Прикладна математика та комп’ютинг — це міждисциплінарна галузь, що поєднує математичні методи, алгоритмічне мислення та обчислювальні технології для моделювання, аналізу й розв’язання складних задач науки, інженерії, економіки та ІТ.
Ключові напрями
Чисельні методи та обчислювальна математика
Математичне моделювання процесів і систем
Алгоритми та структури даних
Аналіз даних і машинне навчання
Оптимізація та дослідження операцій
Комп’ютерна графіка та візуалізація
Кіберфізичні та вбудовані системи
Базові математичні дисципліни
Вища математика
Лінійна алгебра
Диференціальні рівняння
Теорія ймовірностей і математична статистика
Дискретна математика
Функціональний аналіз
Комп’ютинг і програмування
Мови програмування: Python, C/C++, Java, MATLAB
Обчислювальні платформи: HPC, GPU, хмарні сервіси
Чисельні бібліотеки: NumPy, SciPy, TensorFlow
Моделювання та симуляція
Паралельні та розподілені обчислення
Методи та інструменти
Чисельне інтегрування і диференціювання
Метод скінченних елементів
Метод скінченних різниць
Монте-Карло
Оптимізаційні алгоритми
Штучний інтелект і нейромережі
Застосування
Інженерія та промисловість
Фінансова математика
Екологічне та кліматичне моделювання
Поліграфія та мультимедійні технології
Біоінформатика
Штучний інтелект та аналіз великих даних
Професійні компетентності
Аналітичне й абстрактне мислення
Розробка математичних моделей
Програмна реалізація алгоритмів
Робота з великими даними
Інтерпретація обчислювальних результатів
Результати навчання
Випускник здатний:
формалізувати прикладні задачі;
будувати та досліджувати математичні моделі;
реалізовувати чисельні методи програмно;
застосовувати комп’ютерні технології для аналізу даних;
працювати в міждисциплінарних командах.
Зв’язок із сучасними трендами
ШІ та Data Science
Цифрові двійники
Індустрія 4.0
Smart-системи Мета дисципліни - формування наукового світогляду, одним з елементів якого є володіння методами прикладної математики; - формування знань, вмінь та навичок, необхідних для використання сучасних численних методів розв’язання прикладних задач, пов’язаних з майбутньою спеціальністю; - формування знань, вмінь та навичок, необхідних для проведення пошуку методу розв’язання конкретної прикладної задачі; - розвиток математичної інтуїції, уміння будувати, досліджувати математичні моделі реальних технологічних процесів та інтерпретувати результати таких досліджень; - створення необхідної математичної основи для подальшого вивчення математичних методів та їх застосувань.
Предмет — ознайомлення студентів з аналізу математичних моделей, методами розв’язання прикладних задач та оцінки похибки; - вивчення методів побудови інтерполяційних поліномів (поліноми Лагранжа та Ньютона) для таблично-заданих функцій; - вивчення методів обробки експериментальних даних (задача апроксимації); - опанування методом кореляційно-регресійного аналізу; - вивчення чисельних методів розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР); - опанування методами чисельного інтегрування та диференціювання функцій; - опанування чисельними методами рішення нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь; - вивчення чисельних методів розв’язання звичайних диференціальних рівнянь. - формування знань, вмінь та навичок, необхідних для використання сучасних численних методів розв’язання прикладних задач, пов’язаних з майбутньою спеціальністю; - формування знань, вмінь та навичок, необхідних для проведення пошуку методу розв’язання конкретної прикладної задачі; - розвиток математичної інтуїції, уміння будувати, досліджувати математичні моделі реальних технологічних процесів та інтерпретувати результати таких досліджень; - створення необхідної математичної основи для подальшого вивчення математичних методів та їх застосувань.
Предмет — вивчення чисельних методів розв’язання звичайних диференціальних рівнянь.
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 1. Інтерполювання функцій. Чисельне диференціювання та інтегрування функцій. 2. Методи обробки експериментальних даних. 3. Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 2 4. Чисельні методи розв’язання нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь. 5. Розв’язання звичайних диференційованих рівнянь чисельними методами. Крайові задачі.
Прикладна математика — галузь математики, що розглядає застосування математичних знань в інших сферах діяльності. Прикладами такого застосування будуть: чисельні методи, математична фізика, математична хімія, лінійне програмування, оптимізація і дослідження операцій, моделювання суцільних середовищ (механіка суцільних середовищ), біоматематика і біоінформатика, теорія інформації, теорія ігор, теорія ймовірності і статистика, фінансова математика і теорія страхування, актуарна математика, криптографія, а також комбінаторика і деякою мірою кінцева геометрія, теорія графів в додатку до мережевому плануванню, і багато в чому те, що називається інформатикою. У питанні про те, що є прикладною математикою, не можна скласти чітку логічну класифікацію. Математичні методи звичайно застосовуються до специфічного класу прикладних завдань шляхом складання математичної моделі системи. У минулому практичні додатки мотивували розвиток математичних теорій, які потім стали предметом вивчення з чистої математики, де абстрактні поняття вивчаються заради себе. Таким чином, діяльність прикладної математики тісно пов'язана з дослідженнями чистої математики.
Місце в структурно-логічній схемі.
Курс «Прикладна математика» є основою для подальшого засвоєння таких дисциплін: «Науково-дослідна робота», «Метрологія, стандартизація і сертифікація». Курс «Прикладної математики» є необхідним при виконанні лабораторних робіт, при обробці результатів експериментальних досліджень в курсових і дипломних роботах, а також для аспірантів і здобувачів при виконанні експериментальних досліджень і обробки їх результатів. Дисципліна «Прикладна математика» належить до циклу фундаментальних дисциплін при підготовці бакалавра і викладається у відповідності до навчального плану.
У результаті вивчення дисципліни студент повинен знати: - методи побудови інтерполяційних поліномів (поліноми Лагранжа та Ньютона) для таблично-заданих функцій; - методи обробки експериментальних даних (задача апроксимації); - методи кореляційно-регресійного аналізу; - методи побудови лінійних та нелінійних регресій, оцінки їх статистичних похибок; - методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР); - методи чисельного інтегрування та диференціювання функцій; - чисельні методами розв’язання нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь; - чисельні методи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь.
Студент повинен вміти: - користуватися чисельними методами аналізу математичних моделей розв’язання прикладних задач та оцінки похибки; - розв’язувати задачу інтерполяції для таблично-заданих функцій за допомогою побудови інтерполяційних поліномів Лагранжа та Ньютона; - здійснювати обробку експериментальних даних за допомогою кореляційно-регресійного аналізу; - будувати лінійні та поліноміальні регресійні моделі і оцінювати похибки їх параметрів; - будувати множинну лінійну регресію для багатофакторних моделей; - розв’язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) чисельними методами; - користуватися методами чисельного інтегрування та диференціювання функцій; - розв’язувати чисельними методами нелінійні алгебраїчні та трансцендентні рівняння; - розв’язувати чисельними методами звичайні диференціальні рівняння.
«Прикладна математика та комп'ютинг» є фундаментом усієї сучасної цифрової цивілізації. Це міст між абстрактною теорією (формулами) та фізичною реальністю (комп'ютерними системами).
Прикладна математика та комп'ютинг: Системний підхід
1. Математичне моделювання (The Core)
Це перший і головний етап. Перш ніж писати код, потрібно створити математичну модель об'єкта.
Диференціальні рівняння: Опис процесів у часі (наприклад, поширення тепла в друкарському пресі).
Варіаційні методи: Пошук оптимальних станів системи (мінімізація енергії деформації).
Чисельні методи: Перетворення неперервних функцій у дискретні значення, які розуміє комп'ютер.
2. Чисельний аналіз та алгоритмізація
Тут ми переходимо до «обчислювальної» частини (Computing):
Апроксимація: Заміна складних функцій простішими (поліномами), що критично для швидкодії мобільних процесорів у Android-проєктах.
Чисельне інтегрування: Методи Сімпсона та Гаусса для обчислення об'ємів та площ.
Стійкість алгоритмів:
3. Комп'ютинг та розробка ПЗ Як прикладна математика втілюється в ІТ-проєктах:
Високопродуктивні обчислення (HPC): Використання паралельних обчислень для моделювання складних процесів.
Комп'ютерна графіка: Геометричне моделювання та векторизація, що є основою мультимедійних проєктів.
Штучний інтелект та Data Science: Математична статистика та лінійна алгебра як двигуни машинного навчання.2. Чисельний аналіз та алгоритмізація Тут ми переходимо до «обчислювальної» частини (Computing):
Апроксимація: Заміна складних функцій простішими (поліномами), що критично для швидкодії мобільних процесорів у Android-проєктах.
Чисельне інтегрування: Методи Сімпсона та Гаусса для обчислення об'ємів та площ.
Стійкість алгоритмів: Професор І В Огірко завжди нагадує: «Якщо алгоритм нестійкий, то похибка зросте і зруйнує систему, як невігластво руйнує державу».
3. Комп'ютинг та розробка ПЗ Як прикладна математика втілюється в ІТ-проєктах:
Високопродуктивні обчислення (HPC): Використання паралельних обчислень для моделювання складних процесів.
Комп'ютерна графіка: Геометричне моделювання та векторизація, що є основою мультимедійних проєктів.
Штучний інтелект та Data Science: Математична статистика та лінійна алгебра як двигуни машинного навчання. Література Ляшенко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи – 1996 Засуха В. А. Прикладна математика. Підручник / Засуха В. А., Лисенко В. П., Голуб Б. Л. — К., «Арістей», 2004. — 227 c. Рекомендована література з прикладної математики: Бурак Я. І., Огірко І. В. Застосування методу нелінійної релаксації до оптимізації нагріву оболонок обертання / / Тез. докл. VII науч. конф. по застосуванню ЕОМ в механіці деформ. тв. тіла (Ташкент, 30 сент. — 2 жовтня. 1975 р.). — Ташкент, 1975. — Ч. ІІІ. — С.5.
Бурак Я. І., Огірко І. В. Про визначення термопружності стану оболонки екрану кінескоп з урахуванням температурної залежності характеристик матеріалу / / Якість,міцність, надійність і технологічність електровакуумних приладів. — Київ: Наук. думка, 1976. — С.59-62.
Бурак Я. І., Огірко І. В. Оптимальний нагрів циліндричної оболонки з залежними від температури характеристиками матеріалу / / Мат. методи і фіз.-мех. поля. — 1977. — Вип. 5. — С.26-30 Огірко І. В. Раціональний розподіл температури по поверхні термочуттєвого тіла … стор 332 / / Інженерно-фізичний журнал Том 47, Номер 2 (серпень, 1984)
Огірко І. В. Оптимальне по напрузі температурне поле в локальній області гнучкої конструкції / / Інститут проблем міцності,, 1986, N2. — C.69-72.
Огірко І. В. Математичне моделювання друкарських форм ротаційних машин/ Я. І. Дуб, І. В. Огірко, М. Ф. Ясінський. — Львів .Вища школа. Вид-во при Львів. ун-т, 1987. 250c.— 150 екз.
Ogirko I.V., Irkha B.E. A study of the elastic deformations in a thermoelastic inhomogeneous solid of revolution / / Journal of Mathematical Sciences. Volume 79, Issue 6, 1996, Pages 1469–1471.
Ogirko I.V., Zapotochnyi V.I. The stress-strain state of screen photopolymer plates / / Soviet Materials Science 22 (6), 1987, pp. 640-643.
Ogirko I.V. Temperature field, optimum with regard to stresses, in a local region of a flexible structure / / Strength of Materials 18 (2), 1986, pp. 209-213.
Ogirko I.V. Stress-Optimal Temperature Field in the Local Region of a Flexible Structure / / Problemy Prochnosti (2), 1986, pp. 69-72.