Дійсні числа відіграють велику роль у математиці, однак є задачі, для вирішення яких дійсних чисел недостатньо. Однією з таких задач є задача пошуку рішення квадратного рівняння У системі дійсних чисел не віднайдеться таке за якого справджувалася б дана рівність, оскільки у системі дійсних чисел немає дійсного числа, квадрат якого дорівнював б Тривалий час комплексні числа уводилися у розгляд за допомогою наступного міркування: рівняння " не має коренів, не існує. У 1833 році ірландський математик У.Р.Гамільтон пояснив що таке комплексні числа. Його підхід полягав у розширенні системи до системи за допомогою впорядкованих пар дійсних чисел , де які називаються комплексними числами.

Нехай - множина усеможливих впорядкованих пар дійсних чисел та Числа та у парі називаються компонентами пари зокрема, - першою компонентою, а - другою компонентою.

У відповідності із загальним визначенням рівності впорядкованих пар, пари та є рівними лише у випадку, коли та У цьому випадку пишуть

Визначмо на множині таких пар операції додавання й множення. Сумою пар та є пара тобто Тобуток пар та - пара тобто

Операції додавання й множення пар комутативні, асоціативні й пов'язані законом дистрибутивності. Комутативність й асоціативність операції додавання пар слідують відповідно з комутативності й асоціативності додавання дійсних чисел, оскільки додавання пар зводиться до додавання їх компонент (дійсних чисел).

Операція множення є дистрибутивною відносно операції додавання. Справді, для будь-яких одержимо:

Правы частини цих співвідношень є рівними, відтак рівними є й ліві частини.

1. Для будь-яких справджується розподільний закон множення пар відносно додавання:

У множині виконується також операція віднімання. Нехай та - довільні пари з множини Різницею даних пар буде пара яка задовільняє умові Віднайдімо цю пару:

відтак

У системі виконується операція ділення (окрім ділення на нуль). Нехай та - довільні пари з причому Тоді принаймні одна з компонент та є відмінною від нуля, тому

Часткою від ділення пари на пару є пара яка задовільняє умові Віднайдімо цю частку:

З цього слідує, що віднаходження пари є рівносильним вирішенню системи рівнянь Вона має єдине рішення:

Відповідно, у випадку, коли частка існує, причому лише одна:

Протилежною до пари є пара Якщо вважати то одержимо, що для відмінною від нуля пари зворотною буде пара

Вважаймо, що (наприклад, та що За такого міркування можна сказати, що система дійсних чисел є підсистемою системи (з огляду на співпадаючі в цих системах бінарні операції).

Побудована таким чином числова система повинна містити рішення рівняння Одним із коренем цього рівняння є елемент системи Справді, Елемент є другим коренем рівняння Елемент позначають символом тоді елемент буде позначатися символом Відповідно, Оскільки та то і тому Таким чином, кожний елемент системи можна записати у вигляді де

Нехай - будь-яке розширення системи дійсних чисел яке містить декотрий елемент для якого Оскільки та відповідно то Однак у системы немає дільників нуля. Тому принаймні один із співмножників та є рівним нулю. Якщо то та для будь-якого елемента одержимо ; якщо ж то і тоді У обох випадках кожний елемент системи міститься у підсистемі та, відповідно, співпадає із

Комплексні числа часто позначають грецькими літерами або літерою Таким чином, кожний елемент системи (тобто кожне комплексне число ) можна записати у вигляді де та - декотрі дійсні числа, а

Запис називається алгебричною формою комплексного числа. Комплексне число називається уявною одиницею, а числа - уявними числами. У записі число називається дійсною частиною комплексного числа число - уявною частиною, а число - коефіцієнтом уявної частини комплексного числа Дійсна частина комплексного числа позначається а уявна -

Комплексне число називається алгебричним, якщо воно задовільняє декотрому рівнянню виду де серед яких є хоча б одне відмінне від нуля. Степенем алгебричного числа є найменше додатне ціле число за якого задовільняє рівнянню степені Наприклад, будь-яке раціональне число є алгебричним першої степені, - алгебричне число другого степеня, - алгебричне число степені Число, яке не є алгебричним, називається трансцендентним.

Дії над комплексними числами Додавання, віднімання, множення та ділення комплексних чисел здійснюється за наступними формулами:

де

За додавання комплексних чисел додаються окремо їх дійсні частини й окремо коефіцієнти уявних частин, а за віднімання комплексних чисел віднімаються окремо їх дійсні частини та коефіцієнти уявних частин. Комплексні числа множаться по правилу множення суми на суму.

Розгляньмо приклади:

Два комплексних числа, які відрізняються один від одного лише знаком при уявній частині, називаються спряженими. Число, спряжене із комплексним числом позначається Наприклад, комплексне число є спряженим із комплексним числом Дійсне число є спряженим із самим собою.

Таким чином, щоб розділити комплексне число на комплексне число достатньо чисельник й знаменник дробу помножити на число яке є спряженим із знаменником.

Сума та добуток спряжених комплексних чисел є дійсними числами. Нехай Тоді Одержимо: ; (за добуток є додатним числом).

Якщо у сумі кожний доданок замінити спряженим комплексним числом, то одержимо число спряжене із Зокрема, нехай та Тоді:

Таким чином, число, спряжене із сумою двох чисел, дорівнюєсумі чисел, спряжених із доданками.

Якщо у добутку кожний співмножник замінити спряженим комплексним числом, то одержимо число спряжене із Зокрема, якщо та тоді:

Таким чином, число, спряжене із добутком двох комплексних чисел, дорівнює добутку чисел, спряжених із співмножниками.

Якщо у різниці зменшуване й від'ємник замінити спряженими комплексними числами, то одержимо число спряжене із Таким чином, число, спряжене із різницею комплексних чисел та дорівнює різниці чисел, спряжених із сислами та

Якщо у частці ділене та дільник замінити спряженими до них числами, то одержимо число спряжене із Таким чином, число, спряжене із часткою від ділення числа на число дорівнює частці чисел, спряжених із числами та

Якщо довільне число виражається через комплексні числа (не обо'язково різні) за допомогою додавання, віднімання, множення та ділення, то, замінюючи у цьому виразі усі числа спряженими, одержимо число спряжене із Запевнимося у цьому, використовуючи математичну індукцію. У виразі числа через числа вказано, у якому порядку виконуються операції додавання, множення, віднімання та ділення. Застосуймо одну з цих операцій до числа яке виражається через числа та до числа яке виражається через числа Замінімо числа та спряженими до них числами. Тоді за індукцією числа та також заміняться спряженими числами та а відповідно, число заміниться на спряжене до нього

Радикал На основі визначення кореня пишуть При цьому висловлюють теорему, за якою щоб піднести корінь до степеня, достатньо підкореневе число піднести до цього степеня, а показник кореня залишити без змін, тобто У випадку одержуємо Однак у цьому випадку нічого не говориться про область застосування даної теореми, і можна дійти до висновку, що що є невірним, оскільки Відповідно, висловлювана теорема є не завжди справедливою. Тому до даної теореми роблять зауваження про те, що мова йдеться про арифметичний корінь.

У своїй книзі "Елементи алгебри" Ейлер пише: "Точно так само, як помножений на дає корінь ми будемо мати для значення добутку ; та або для значення добутку Ми бачимо, таким чином, що два уявних числа, перемножених один на одного, дають у добутку дійсне або можливе число". Далі він каже, що та що "одиниця, розділена на дасть чи оскільки є те саме, що й ".

Французький математик та викладач Луї П'єр Бурдон у книзі "Алгебра" пише: "Правила дій над кореневими величинами, справедливі для арифметичних чисел, можуть зазнати декотрих змін для чисто алгебричних виразів". Далі він говорить: "Вважаймо, наприклад, що необхідно віднайти добуток на ; тоді (за правилом 165) одержимо ". А потім доводить, що за умови, що перед кожним з чисел та стоїть знак

Таким чином, за Ейлером а за Бурдоном

Внаслідок багатозначності кореня втрачається сенс балакати про дії на коренями взагалі. Справді, що може означати добуток ? Який корінь необхідно помножити? Усі парадокси отримуються саме з того, що не враховується багатозначність кореня, підмінюючи одне значення кореня іншим. На цьому заснований відомий математичний софізм, у якому доводиться, що

й одержують звідки

Цей самий метод застосовується й для доказу теорем про корені. Зокрема, доказ теореми проводиться наступним чином: обидві частини підносяться до одного й того ж степеня після чого одержуються однакові вирази звідки робиться висновок, що числа є рівними між собою. Такий висновок можна було б зробити за єдиності кореня, однак корінь є багатозначним.

Коренем степені з комплексного числа називається число для якого й позначається

Нехай - довільне комплексне число. Припустімо, що квадратний корінь з числа існує і дорівнвює тобто Тоді або Визначмо та прирівнявши дійсні та уявні числа обох частин, внаслідок чого одержимо: Після піднесення кожного з цих рівнянь до квадрату й потім почленного їх додавання одержимо звідки (обераємо додатне значення кореня, оскільки числа та є дійсними, відповідно, ).

З рівнянь та одержуємо: Звідси слідує, що

За будь-яких та підкореневі вирази у цих формулах числа є невід'ємними. Відтак усі значення та є дійсними. Для віднаходження значення та не можна комбінувати довільно, оскільки у знак добутку повинен співпадати із знаком числа Відповідно, за значення та повинні мати протилежні знаки та, відповідно, радикали необхідно брати із протилежними знаками. Таким чином, якщо корінь квадратний з комплексного числа існує, то його значення визначаються формулами:

Квадрат довільного з чисел, заданих цими формулами, дорівнює Таким чином, ці числа є значеннями квадратного коленя з числа У випадку, коли то

Таким чином, операція вилучення квадратного кореня у системі завжди виконувана: якщо то а якщо то має у системі два значення, які відрізняються один від одного лише знаком. Зокрема, квадратний корінь з від'ємного числа у системі приймає два уявних значення. Справді, якщо та то оскільки корінь повинен бути додатним. Відтак та тобто та та, відповідно,

Наприклад, розгляньмо квадратний корінь Розгляньмо також

Цей метод вилучення квадратного кореня з комплексного числа не можна застосовувати на корені більш високого степеня, оскільки вилучити корінь вищого (більшого, ніж другого) степеня з комплексного числа у алгебричній формі неможливо. Наприклад, вже для кубічного кореня з припущення одержуємо систему рівнянь для вирішення якої необхідно уміти знаходити корені кубічного рівняння.

Припущення про те, що корінь непарного степеня з додатного числа має лише одне додатне значення, а корінь парного степеня з додатного числа має два значення, є невірним.

Питання про вилучення кореня будь-якого степеня з комплексного числа можна вирішити, якщо скористатися тригонометричною формою числа

Геометричний зміст комплексного числа Кожне комплексне число де - уявна одиниця (), зручно зображувати точкою площини із декартовими координатами Із кожною точкою площини пов'язаний взаємно однозначно вектор із початком у точці координат (тобто проводиться від початкової точки). Такий вектор називають радіус-вектором точки а координати точки називаються компонентами радіус-вектора. Тому комплексне число геометрично можна зобразити за допомогою радіус-вектора із координатами Точку із декартовими координатами називають афіксом (лат. affixus - прикріплений, причеплений).

Якщо та - два комплексних числа, а та - відповідні їм радіус-вектори, то формули для чисел та за визначенням наступні: та З правил додавання й віднімання векторів (правило паралелограму) слідує, що вектори та мають координати та відповідно. Тому сумі й різниці комплексних чисел відповідають радіуси вектори, які є сумою та різницею радіусів-векторів, які позначають дані комплексні числа.