Формула Дирихле для числа дільників — асимптотична формулаАналітична теорія чисел
де — число дільників , — постійна Ейлера — Маськероні, а — O-велике.
Формула була отримана Діріхле в 1849.
Доведення Доказ негайно випливає з того факту, що вказана сума дорівнює числу цілих точок з цілими позитивними координатами в області, обмеженою гіперболою та осями координат.
Уточнення В 1906 році доданок був уточнений Серпінським до , тобто . Зараз існують кращі оцінки. Найкращий відомий результат (отримано у 2003 р. Хакслі). Однак, найменше значення , при якому ця формула залишиться вірною, невідоме (доведено, що воно не менше, ніж ).
При цьому середній дільник великого числа n в середньому росте як , що було виявлено А. Карацубою. З комп'ютерних оцінок М. Корольова.
Примітки