Значення
Гравітаційна стала (також універсальна гравітаційна стала, стала Ньютона або G велике) — фундаментальна фізична стала, що з'являється у ньютоновому законі всесвітнього тяжіння й айнштайновій загальній теорії відносності, визначаючи інтенсивність гравітаційної взаємодії. Її позначають зазвичай великою латинською літерою G.
Відповідно до закону всесвітнього тяжіння, сила притягання між двома тілами пропорційна добутку їхніх мас і обернено пропорційна квадрату відстані між ними:
Гравітаційна стала можливо найскладніше вимірюється з усіх фізичних сталих. У 2011 році CODATA рекомендував таке значення гравітаційної сталої в одиницях SI:
= м3 кг−1 с−2P.J. Mohr, B.N. Taylor, and D.B. Newell (2011), «The 2010 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants» (Web Version 6.0). This database was developed by J. Baker, M. Douma, and S. Kotochigova. Available: http://physics.nist.gov/constants [Thursday, 02-Jun-2011 21:00:12 EDT]. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD 20899..
У природній системі одиниць доречно покласти гравітаційну сталу рівною одиниці.
Перше неявне вимірювання з точністю близько 1 % приписують Генрі Кавендішу в експерименті з крутильними терезами 1798 року. Відтоді точність вимірювань зросла лише незначно. Складності вимірювання зумовлені слабкістю гравітаційної взаємодії порівняно з електромагнітною.
Сучасний запис закону Ньютона, що включає , ввів у 1890-х роках Чарлз Вернон Бойз.
Визначення Згідно із законом всесвітнього тяжіння Ньютона, величина сили тяжіння () між двома тілами, кожне з яких має сферично симетричний розподіл густини, прямо пропорційна добутку їхніх мас і , та обернено пропорційна квадрату відстані , уздовж лінії, що з'єднує їхні центри мас:
.
Коефіцієнт пропорційності G в цьому нерелятивістському формулюванні називають гравітаційною сталою. У розмовній мові гравітаційну сталу також називають «велике G», на відміну від «малого g» (), яке характеризує локальне гравітаційне поле Землі і називається також прискоренням вільного падіння. Якщо — маса Землі, — радіус Землі, то ці дві величини пов'язує співвідношення:
.
Гравітаційна стала — це сталий член у рівняннях поля Ейнштейна загальної теорії відносності
,
де — тензор Ейнштейна (не гравітаційна стала, попри використання ), — космологічна стала, — метричний тензор, — тензор енергії-напруження, а — гравітаційна стала Ейнштейна, константа, яку вперше ввів Ейнштейн, безпосередньо пов'язана з ньютонівською гравітаційною сталою:
.
Фізичний зміст Одиниці вимірювання , м³кг⁻¹с⁻² (в СІ), можна впорядкувати кількома способами, щоб описати фізичний зміст . Одним із варіантів є Н/(кг²/м²) для позначення сили між двома масами на відстані відповідно до закону обернених квадратів. Інший, з виключенням спільної одиниці маси — (м/с²)/(кг/м²) для позначення прискорення вільного падіння, викликаного масою на відстані, або прискорення, що виникає в точці простору внаслідок впливу віддаленої маси.
Величина та невизначеність Гравітаційна стала — це фізична константа, яку складно виміряти з високою точністю. Це пояснюється тим, що в лабораторному масштабі гравітаційна сила є надзвичайно слабкою порівняно з іншими фундаментальними силами.
В одиницях СІ рекомендоване CODATA значення гравітаційної сталої становить:
= 6,67430(15)×10−11 м3⋅кг−1⋅с−2
Відносна стандартна невизначеність становить 2,2 × 10−6.
Природні одиниці За використання як визначальної константи в деяких системах природних одиниць зокрема в , як-от одиниці Планка та , значення гравітаційної сталої зазвичай має числове значення 1 або близьке до нього, якщо його виразити в цих одиницях. Через значну невизначеність виміряного значення G в інших відомих фундаментальних константах, подібний рівень невизначеності проявиться в значенні багатьох величин, виражених у такій системі одиниць.
Орбітальна механіка В астрофізиці зручно вимірювати відстані в парсеках (пк), швидкості в кілометрах за секунду (км/с) та маси в сонячних одиницях . У цих одиницях гравітаційна стала має вигляд:
.
У випадках, коли важливу роль відіграють припливи, відповідними масштабами довжини є сонячні радіуси, а не парсеки. У цих одиницях гравітаційна стала має вигляд:
.
В орбітальній механіці період обертання об'єкта по коловій орбіті навколо сферичного об'єкта підпорядковується рівнянню
,
де — об'єм всередині радіуса орбіти, — загальна маса двох об'єктів. Звідси випливає, що
.
Такий спосіб вираження показує зв'язок між середньою густиною планети та періодом обертання супутника безпосередньо над її поверхнею.
Для еліптичних орбіт, застосовуючи третій закон Кеплера, виражений в одиницях, характерних для орбіти Землі:
,
де відстань вимірюється у великих півосях орбіти Землі (астрономічна одиниця, а. о.), час у роках та маса в загальних масах орбітальної системи ().
Наведене вище рівняння точне лише в рамках наближення, за яким рух Землі навколо Сонця розглядається як задача двох тіл у ньютонівській механіці; виміряні величини містять поправки, пов'язані зі збуреннями від інших тіл Сонячної системи та із загальною теорією відносності.
Проте з 1964 по 2012 рік його використовували як визначення астрономічної одиниці і, отже, за визначенням вона дорівнювала:
.
З 2012 року а. о. визначається як точно, і рівняння більше не можна вважати таким, що виконується точно.
Величина — добуток гравітаційної сталої та маси заданого астрономічного тіла, як-от Сонця чи Землі, — відома як стандартний гравітаційний параметр (також позначається ). Стандартний гравітаційний параметр з'являється, як зазначено вище, у законі всесвітнього тяжіння Ньютона, а також у формулах для відхилення світла, спричиненого гравітаційним лінзуванням, у законах руху планет Кеплера та у формулі космічної швидкості.
Ця величина забезпечує зручне спрощення різних формул, пов'язаних із гравітацією. Добуток відомий значно точніше, ніж будь-який зі співмножників. +Значення GM Тіло Значення Відносна невизначеність Сонце Земля Розрахунки в небесній механіці також можна проводити, використовуючи одиниці сонячних мас, середніх сонячних днів та астрономічних одиниць, а не стандартні одиниці СІ. Для цієї мети історично широко використовувано , , яка виражає середню кутову швидкість системи Сонце — Земля. Використання цієї константи та неявного визначення астрономічної одиниці, про яке йшлося вище, МАС 2012 року визнав застарілим.
Історія вимірювань
Рання історія Існування константи мається на увазі в законі всесвітнього тяжіння Ньютона, опублікованому в 1680-х роках (хоча позначення датують 1890-ми роками), але не обчислюється в його «Математичних началах натуральної філософії», де постульовано закон обернених квадратів для сили тяжіння. У «Началах» Ньютон розглядав можливість вимірювання сили тяжіння за вимірюванням відхилення маятника поблизу великого пагорба, але вважав, що ефект буде надто малим, щоб його можна було виміряти. Тим не менш, він мав змогу оцінити порядок величини сталої, коли припустив, що «середня густина Землі може бути в п'ять або шість разів більшою за густину води», що еквівалентно гравітаційній сталій порядку:«Sir Isaac Newton thought it probable, that the mean density of the earth might be five or six times as great as the density of water; and we have now found, by experiment, that it is very little less than what he had thought it to be: so much justness was even in the surmises of this wonderful man!» Hutton (1778), p. 783
≈
У 1738 році П'єр Бугер та спробували провести вимірювання під час своєї . У 1740 році Бугер применшив значення їхніх результатів, припустивши, що експеримент принаймні довів, що Земля не може бути порожнистою оболонкою, як припускали деякі мислителі того часу, зокрема Едмонд Галлей.
Шихалліонський експеримент, запропонований у 1772-му та завершений у 1776 році, був першим успішним вимірюванням середньої густини Землі, а отже, опосередковано й гравітаційної сталої. Результат, про який повідомив Чарльз Гаттон (1778), показав густину (у 4,5 раза більше від густини води), приблизно на 20 % нижче сучасного значення. Це одразу привело до оцінок густини та маси Сонця, Місяця та планет, які Гаттон надіслав Жерому Лаланду для включення до його планетарних таблиць. Як обговорювалося вище, встановлення середньої густини Землі еквівалентне вимірюванню гравітаційної сталої, враховуючи середній радіус Землі та середнє гравітаційне прискорення на поверхні ЗемліBoys 1894, p.330 In this lecture before the Royal Society, Boys introduces G and argues for its acceptance. See: Poynting 1894, p. 4, MacKenzie 1900, p.vi:
.
Виходячи з цього, результат Гаттона 1778 року еквівалентний .
Перше пряме вимірювання гравітаційного притягання між двома тілами в лабораторії виконав у 1798 році, за 71 рік після смерті Ньютона, Генрі КавендішОпубліковано в Philosophical Transactions of the Royal Society (1798); репринт: Cavendish, Henry (1798). «Experiments to Determine the Density of the Earth». In MacKenzie, A. S., Scientific Memoirs Vol. 9: The Laws of Gravitation. American Book Co. (1900), pp. 59–105.. Він неявно визначив , скориставшись крутильними терезами, які винайшов геолог преподобний Джон Мітчелл (1753). Він використав горизонтальну поворотну балку зі свинцевими кулями, момент інерції яких (відносно коефіцієнта кручення) визначав, вимірюючи період коливань балки. Їхнє слабке притягання до інших куль, розміщених поруч із балкою, можна було виявити за відхиленням, яке вони викликали. Попри те, що експеримент розробив Мітчелл, зараз він відомий як експеримент Кавендіша завдяки тому, що Кавендіш уперше успішно його виконав.
Метою Кавендіша було «зважування Землі», тобто визначення середньої густини Землі та її маси. Його результат, , відповідає значенню . Це значення надзвичайно точне, воно приблизно на 1 % перевищує сучасне рекомендоване CODATA значення , що узгоджується із заявленою відносною стандартною невизначеністю 0,6 %.
XIX століття З часу першого експерименту Кавендиша точність виміряного значення зросла незначно. досить складно виміряти, оскільки гравітація набагато слабша за інші фундаментальні сили, і експериментальну установку не можна відокремити від гравітаційного впливу інших тіл.
Вимірювання за допомогою маятників проводили (1821; ), Едвард Себін (1827; ), (1841; ) та Джордж Бідделл Ері (1854; ).
Експеримент Кавендіша вперше повторив Фердинанд Райх (1838, 1842, 1853), який отримав значення F. Reich, "On the Repetition of the Cavendish Experiments for Determining the mean density of the Earth, Philosophical Magazine 12: 283—284., менш точне, ніж результат Кавендіша, яке відрізняється від сучасного значення на 1,5 %. та (1873) отримали Mackenzie (1899), p. 125..
Експеримент Кавендіша виявився надійнішим, ніж експерименти з маятником шихалліонського типу (відхилення) або перуанського типу (період як функція висоти). Експерименти з маятником також проводили Роберт фон Штернек (1883; результати від до ) та (1880; )A.S. Mackenzie, The Laws of Gravitation (1899), 127f..
Результат Кавендіша вперше покращив Джон Генрі Пойнтінг (1891), який опублікував значення , що відрізняється від сучасного значення на 0,2 %, але сумісне зі сучасним значенням у межах зазначеної відносної стандартної невизначеності 0,55 %. Окрім Пойнтінга, вимірювання проводили Чарлз Вернон Бойз (1895) та (1897)Carl Braun, Denkschriften der k. Akad. d. Wiss. (Wien), math. u. naturwiss. Classe, 64 (1897).