Формула Планка — вираз для спектральної густини потоку випромінювання (спектральної густини енергетичної світності) абсолютно чорного тіла, виведений Максом Планком для густини енергії випромінювання :
Формула Планка («форма» залежності від частоти та температури) спершу була «виведена» емпірично. Формула Планка була отримана після того, як стало зрозуміло, що формула Релея—Джинса, що походить з класичної теорії електромагнітного поля, задовільно описує випромінювання тільки в області довгих хвиль. Зі спаданням довжин хвиль формула Релея—Джинса сильно розходиться з емпіричними даними. Більш того, у граничному випадку коротких хвиль вона дає розбіжність — нескінчену енергію випромінювання (ультрафіолетова катастрофа).
У зв'язку з цим Планк у 1900 році зробив припущення що суперечить класичній фізиці про те, що електромагнітне випромінення випромінюється у вигляді окремих порцій енергії (квантів), величина яких пов'язана з частотою випромінювання виразом:
Коефіцієнт пропорційності згодом назвали сталою Планка, = 1,054 · 10−27 ерг·с. Це припущення дозволило пояснити спостережуваний спектр випромінювання теоретично.
Правильність формули Планка підтверджується не тільки емпіричною перевіркою, але й наслідками з даної формули, зокрема з неї походить закон Стефана — Больцмана, також підтверджений емпірично. Крім того, з неї виводяться також приблизні формули, отримані до формули Планка, — формула Віна та формула Релея-Джинса.
Формула Формула Планка - вираз для спектрального розподілу випромінювання абсолютно чорного тіла певної температури. Зустрічаються різні форми запису цієї формули. Можна дивитись на енергетичну яскравість, випромінювальну здатність або спектральну густину енергії, а спектр можна задавати частотою або довжиною хвилі. Відповідно нижче представлені шість різних варіантів запису формули Планка.
Енергетична яскравість Формула, що виражає спектральну густину енергетичної яскравості, виглядає так:
де - частота випромінювання, - температура абсолютно чорного тіла, - стала Планка, - швидкість світла, - стала Больцмана. У системі SI величина у цій формулі має розмірність Вт·м−2·Гц−1·ср−1. Її фізичний сенс – енергетична яскравість у малому діапазоні частот , поділена на . Можна використати аналогічну формулу, в якій енергетична яскравість буде функцією довжини хвилі , а не частоти:
.
В цьому випадку має розмірність Вт·м−2·м−1·ср−1 і відповідає енергетичній яскравості в малому діапазоні довжин хвиль , поділеної на .
Випромінювальна здатність Випромінювальна здатність на частоті або довжині хвилі - це потужність випромінювання на одиницю площі в інтервалі частот або довжин хвиль , поділена, відповідно, на або . Вона може бути виражена формулами:
,
.
Таким чином, випромінювальна здатність тіла чисельно в разів більше яскравості, якщо тілесний кут вимірюється в стерадіанах. Величини і мають розмірності, відповідно, Вт·м−2·Гц−1 і Вт·м−2·м−1.
Спектральна густина енергії Ще одна форма запису визначає спектральну об'ємну густину енергії випромінювання абсолютно чорного тіла. За аналогією з попередніми формулами, вона дорівнює густині енергії в малому діапазоні частот або довжин хвиль, поділеної на ширину цього діапазону:
,
.
У системі СІ величини і мають розмірності, рівні, відповідно, Дж·м−3·Гц−1 і Дж·м−3·м−1. Крім того, спектральна щільність енергії пов'язана з випромінювальною здатністю співвідношенням .
Застосування
Формула Планка застосовується для випромінювання, яке знаходиться в тепловій рівновазі з речовиною за певної температури. Вона застосовна для абсолютно чорних тіл будь-якої форми незалежно від складу і структури за умови, що розміри випромінюючого тіла і деталей його поверхні набагато більші за довжини хвиль, на яких тіло в основному випромінює.
Якщо тіло не є абсолютно чорним, то спектр його рівноважного теплового випромінювання не описується законом Планка, але пов'язаний з ним законом випромінювання Кірхгофа. Відповідно до цього закону, відношення випромінювальної та поглинальної здатностей тіла однаково для всіх довжин хвиль і залежить тільки від температури. Так, наприклад, при одній температурі розподіл енергії в спектрі абсолютно сірого тіла буде таким самим, як і в спектрі абсолютно чорного, але сумарна енергетична яскравість випромінювання буде меншою.
Формула Планка також використовується для опису реальних тіл, спектр випромінювання яких відрізняється від планківського. Для цього вводиться поняття ефективної температури тіла: це та температура, за якої абсолютно чорне тіло випромінює стільки ж енергії на одиницю площі, скільки й дане тіло. Аналогічним чином визначається яскравісна температура, рівна температурі абсолютно чорного тіла, що випромінює стільки ж енергії на одиницю площі на певній довжині хвилі, і колірна температура, рівна температурі абсолютно чорного тіла з таким саме розподілом енергії в певній ділянці спектра. Наприклад, для Сонця ефективна температура становить близько 5780 K, яскравісна температура на довжині хвилі 1500 Å досягає свого мінімального значення 4200 K, а у видимому діапазоні на довжині хвилі 5500 Å яскравісна температура становить близько 6400 K, у той час як для абсолютно чорного тіла всі визначення температури збігаються.
Історія відкриття
Передісторія Визначення закону теплового випромінювання представляло інтерес з 1859 року, коли Густав Кірхгоф відкрив закон випромінювання Кірхгофа, згідно з яким відношення випромінювальної та поглинальної здатностей універсальне для всіх тіл. Отже, функція випромінювання абсолютно чорного тіла, поглинальна здатність якого дорівнює одиниці для всіх довжин хвиль, повинна збігатися з функцією цього відношення.
До кінця XIX століття спектр випромінювання абсолютно чорного тіла вже був відомий експериментально. В 1896 Вільгельм Він емпірично описав його законом випромінювання Віна, однак отримати його теоретичне доведення фізикам на той момент не вдавалося. Хоча Він у своїй роботі наводив обґрунтування закону, воно було недостатньо суворим, щоб ця проблема вважалася вирішеною.
Макс Планк був одним із тих, хто намагався теоретично обґрунтувати закон випромінювання Віна. Він виходив з того, що випромінювачі є лінійними гармонічними осциляторами, у яких встановилася рівновага між випромінюванням та поглинанням; визначивши зв'язок між ентропією та енергією осциляторів, він зміг підтвердити закон випромінювання Віна.
Однак подальші експерименти показали, що закон випромінювання Віна неточно описує спектр теплового випромінювання в довгохвильовій області. У жовтні 1900 року Планк представив формулу, яка з точністю до констант збігалася із сучасним законом Планка. Того ж дня було з'ясовано, що формула добре описує експериментальні дані, але при цьому вона не мала під собою теоретичної основи. Планк вивів її лише на підставі того, що в граничному випадку для коротких хвиль вона повинна переходити в закон Віна, але, на відміну від нього, узгоджуватися з експериментальними даними для довгих хвиль.
Відкриття Менш як за два місяці після повідомлення про отримання формули Планк представив її теоретичний висновок на засіданні Німецького фізичного товариства. У ньому використовувалося співвідношення для ентропії, введене Людвігом Больцманом, в якому розглядається кількість можливих мікроскопічних станів системи. Планк, щоб мати можливість використовувати методи комбінаторики та оцінити таким чином ентропію, зробив припущення, що повна енергія складається з цілого числа скінченних елементів енергії квантів.
Незважаючи на те, що в цьому виводі з'явилися кванти і було введено і вперше використано сталу Планку, ні сам Планк, ні його колеги не зрозуміли всієї глибини відкриття. Наприклад, Планк вважав, що дискретність енергії немає ніякого фізичного сенсу і є лише математичним прийомом. Інші фізики також не надали цьому значення і не вважали, що це припущення суперечить класичній фізиці. Лише після публікації Гендріка Лоренца у 1908 році наукова спільнота прийшла до думки, що кванти справді мають фізичний зміст. Сам Планк згодом називав введення квантів «актом розпачу», викликаним тим, що «теоретичне пояснення має бути знайдено за всяку ціну, наскільки високою вона не була б». Незважаючи на все це, день, коли формула Планка була обґрунтована, — 14 грудня 1900 — вважається днем народження квантової фізики.
Користуючись міркуваннями класичної фізики, в 1900 році лорд Релей, а в 1905 Джеймс Джинс вивели закон Релея — Джинса. До такого ж результату, незалежно від них, приходив у своїх роботах і Планк. Виведення цього закону мало відрізнял від виведення закону Планка, за винятком того, що середня енергія випромінювання була прийнята рівною , згідно з теоремою про рівнорозподіл енергії за ступенями свободи. З погляду класичної фізики хід виводу не викликав сумнівів, проте закон Релея — Джинса не лише серйозно розходився з експериментальними даними усюди, крім довгохвильової області, а й передбачав нескінченно велику потужність випромінювання на коротких хвилях. Цей парадокс вказав на те, що в класичній фізиці все ж таки є фундаментальні протиріччя, і став додатковим аргументом на користь квантової гіпотези. Пауль Еренфест в 1911 році вперше назвав його ультрафіолетовою катастрофою.
В 1918 Макс Планк став лауреатом Нобелівської премії з фізики, і хоча офіційно він був нагороджений за відкриття квантів, це відкриття було тісно пов'язане з виведенням закону Планка.
Виведення формули Планка
Виведення через розподіл Больцмана Формула Планка виводиться так.
Розглядається абсолютно чорне тіло з температурою у формі куба з ребром , внутрішні стінки якого ідеально відбивають випромінювання. Розрахуємо спектральну густину енергії - густину енергії на одиничний інтервал кутових частот поблизу .
При виборі малої площі на поверхні абсолютно чорного тіла можна розрахувати, скільки енергії на неї падає. Щільність енергії, що падає під кутом до нормалі з тілесного кута , дорівнює , оскільки випромінювання рівномірно розподілено по всіх напрямках у тілесному куті стерадіан. Світло рухається зі швидкістю , а значить, за час на поверхню падає енергія :
.
Сумою енергій, що надходять з усіх напрямків, буде потік :
.
Таку саме кількість енергії випромінюватиме та сама одиниця площі абсолютно чорного тіла, а значить, як для всього потоку, так і для будь-якого діапазону частот або довжин хвиль буде справедливе співвідношення .
Так як всередині куба одночасно присутні і випромінювані, і відбиті хвилі, поле теплового випромінювання повинно бути їх суперпозицією, тобто мати вигляд стоячих електромагнітних хвиль. Для визначення їх параметрів вводяться декартова система координат уздовж ребер куба та відповідні орти . Для хвилі, яка поширюється строго вздовж осі , має виконуватися , де - натуральне число: тобто напівціле число хвиль повинно мати сумарну довжину . Хвильовий вектор такої хвилі дорівнює , де - хвильове число, обмеження для якого набуває вигляду . Для хвиль, що розповсюджуються вздовж осей і , міркування аналогічні.
Хвилю, яка поширюється в будь-якому іншому напрямку, можна представляти у вигляді суперпозиції хвиль, які поширюються вздовж осей: . Отже, , де - незалежні один від одного натуральні числа або нулі. Тоді хвильове число будь-якої хвилі представляється як , а частота як . Кожній трійці цих параметрів відповідає одна стояча хвиля.
За допомогою безрозмірної величини можна визначити кількість стоячих хвиль з частотою не більше . Це число дорівнює кількості комбінацій , для яких . Тоді можна оцінити як восьму частину об'єму кулі з радіусом :
де — об'єм, в якому міститься випромінювання. Так як електромагнітні хвилі - поперечні, у кожному напрямку можуть поширюватися по дві хвилі, поляризованих взаємно перпендикулярно, і реальна кількість хвиль збільшується ще вдвічі:
.
Якщо продиференціювати цей вираз за частотою, вийде кількість стоячих хвиль із довжинами хвиль в інтервалі :
.