Елемента́рна а́лгебра () — алгебра, що подається у вигляді навчальної дисципліни, орієнтованої на вивчення у загальноосвітній школі. Разом з арифметикою, елементарною геометрією та плоскою тригонометрією належить до елементарної математики, яка вивчається у рамках шкільної програми. Дисципліна розглядає: основні поняття алгебри, основи комбінаторики, алгебраїчні вирази, раціональні та ірраціональні рівняння, системи рівнянь, функції та їх графіки, числові послідовності тощо.
Основні поняття В алгебрі прийнято записувати математичні вирази (формули) в узагальненому виді, замінюючи конкретні числа на літерні символи, завдяки чому при вирішенні однотипних задач досягається максимальна узагальненість результату. Основним змістом алгебри є правила тотожних перетворень формул, що є необхідними для вирішення рівнянь, аналізу залежностей, оптимізації системи, що розглядається та інших практичних задач.
Крім літер і чисел, у формулах елементарної алгебри використовуються арифметичні операції: (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня, добування кореня) та елементарні функції (логарифм, тригонометричні функції). Дві формули, об'єднані знаком рівності, називаються рівнянням.
Алгебраїчна нотація визначає загальні особливості запису алгебраїчних виразів. Тут є певні правила, домовленості та спеціальна термінологія. Наприклад у виразі є наступні компоненти:
Якщо символ операції між двома виразами не вказаний, то мається на увазі операція множення:
Приклад формули: площа трикутника так виражається через довжину однієї із сторін і величину висоти , опущеної на сторону :
Найпростіший алгебраїчний вираз — це одночлен, що складається з числового множника, помноженого на один або більше літерних символів. Приклади:
Алгебраїчні суми (тобто суми та/або різниці) одночленів називають многочленами. Вирази, що мають вид частки від ділення одного многочлена на інший, називається алгебраїчним дробом. Дії з алгебраїчними дробами є аналогічними до дій із звичайними дробами — розкладання чисельника й знаменника на множники, приведення декількох дробів до спільного знаменника, скорочення чисельника й знаменника на спільний множник тощо.
Закони елементарної алгебри
Обчислення значення виразу Порядок виконання операцій вказується дужками. Якщо дужки відсутні, то пріоритетність у порядку зменшення є наступною: Піднесення до степеня. Обчислення функції. Множення та ділення. Додавання та віднімання.
Приклади:
При обчисленні значення виразу замість літерних символів підставляють їхні числові значення, виходячи з умови конкретної задачі. Множина числових значень, при яких вираз має зміст, називається областю допустимих значень цього виразу. Приклад: для виразу область допустимих значень — усе пари , у яких .
Властивості операцій Комутативність (властивість перестановки) додавання:
Віднімання є дією, оберненою до додавання. Віднімання числа b є рівнозначним додаванню числа протилежного знаку:
Комутативність (властивість перестановки) множення:
Ділення є дією, оберненою до множення. Ділення на нуль є неможливим. Ділення на число b є рівнозначним множенню на число, обернене до b:
Піднесення до степеня не є комутативним. Тому у нього є дві обернені операції: добування кореня й логарифмування. Приклад: якщо , то Якщо , то Корінь парного степеня з від'ємного числа не існує (серед дійсних чисел). Асоціативна (сполучна) властивість додавання: Асоціативна (сполучна) властивість множення: Дистрибутивна (розподільна) властивість множення: Дистрибутивна (розподільна) властивість для піднесення до степеня: Додавання показників степеня: Множення показників степеня:
Властивості рівності Якщо і , то (транзитивність рівності). (рефлексивність). Якщо , то (симетричність).
Інші закони Якщо і , то (адитивність рівності) Якщо , то для будь-якого c Якщо і , то = (мультиплікативність рівності) Якщо , то для будь-якого c Якщо значення двох символів збігаються, то замість одного можна підставити інший (принцип підстановки). Якщо і , то (транзитивність порядку). Якщо , то для будь-якого c. Якщо і , то Якщо і , то
Деякі алгебраїчні тотожності
Розв'язування рівнянь
Рівняння — це рівність виду:
Розв'язування рівняння — сукупність дій стосовно рівності, для знаходження таких значень аргументів, при яких ця рівність забезпечується. На можливі значення аргументів можуть бути накладені додаткові умови (цілочисельності, дійсності тощо). Розв'язування рівнянь — одна з головних задач алгебри зокрема і математики взагалі. У ході історичного розвитку науки були розроблені різноманітні методи (алгоритми) розв'язування для великої кількості різновидів цієї задачі.
Див. також Алгебра Таблиця математичних символів Історія математичних позначень
Примітки
Джерела