Дужки Лагранжа — бінарна операція в гамільтоновій механіці, тісно пов'язана з іншою бінарною операцією, дужками Пуассона. Дужки Лагранжа були введені Лагранжем у 1808—1810 роках для математичних виразів у класичній механіці. На відміну від дужок Пуассона, зараз дужки Лагранжа практично не використовуються.
Означення Нехай () — набір канонічних координат у фазовому просторі. Якщо кожну з них виразити функцією двох змінних, і , то в цьому випадку дужки Лагранжа від та можна визначити за допомогою формули
Ця формула відрізняється від означення дужок Пуассона перестановкою чисельників і знаменників в операторах частинних похідних.
Властивості Як і дужки Пуассона, дужки Лагранжа є антикомутативними, що очевидно безпосередньо випливає з їхнього означення:
Дужки Лагранжа не залежать від набору канонічних координат : наприклад, якщо є іншим набором канонічних координат, причому — це канонічне перетворення, то дужки Лагранжа є інваріантом цього перетворення в тому сенсі, що
Внаслідок цього індекси, що позначають канонічні координати, часто опускаються.
Якщо є симплектичним простором у -вимірному фазовому просторі і — набір координат в , то канонічні координати можна виразити за допомогою функцій від координат , а матриця дужок Лагранжа , що розглядається в даному випадку як тензор, є компонентами в координатах . Ця матриця є оберненою до матриці, що утворена дужками Пуассона
в координатах .
Як наслідок попередніх властивостей, координати в фазовому просторі є канонічними тоді і тільки тоді, коли дужки Лагранжа між ними мають вигляд
Література
Посилання