Екзоти́чна сфе́ра — гладкий многовид М, гомеоморфний, але не дифеоморфний стандартній n-сфері.

Історія Перші приклади екзотичних сфер побудував Джон Мілнор у розмірності 7; він довів, що на існує як мінімум 7 різних гладких структур. Тепер відомо, що має 28 гладких структур.

Ці приклади, так звані сфери Мілнора, знайдено серед просторів -розшарувань над . Такі розшарування класифікують двома цілими числами і  — елементом . Деякі з цих розшарувань гомеоморфні стандартній сфері, і при цьому не дифеоморфні їй.

Оскільки одинзв'язні, згідно узагальненої гіпотези Пуанкаре, перевірка гомеоморфності і зводиться до підрахунку гомологій ; ця умова накладає певні умови на і .

У доведенні недифеоморфності Мілнор міркує від супротивного. Він зауважує, що многовид є межею 8-вимірного многовиду — простору розшарування диска над . Далі, якщо дифеоморфний стандартній сфері, то можна заклеїти кулею, отримавши замкнутий гладкий 8-вимірний многовид. Підрахунок сигнатури отриманого многовиду через його числа Понтрягіна призводить до суперечності.

Класифікація Зв'язна сума двох екзотичних n-вимірних сфер — також екзотична сфера. Операція зв'язної суми перетворює різні гладкі структури на орієнтованій n-вимірній сфері на моноід, званий моноідом екзотичних сфер.

n = 4 Для відомо, що моноїд екзотичних сфер є абелевою групою, званою групою екзотичних сфер.

Ця група тривіальна для . Тобто, в цих розмірностях існування гомеоморфізму на стандартну сферу тягне за собою існування дифеоморфізму на . При вона ізоморфна циклічній групі порядку 28. Тобто, існує семивимірна екзотична сфера , така, що будь-яка 7-вимірна екзотична сфера дифеоморфна зв'язній сумі кількох копій ; при цьому зв'язна сума 28 копій дифеоморфна стандартній сфері .

Група екзотичних сфер ізоморфна групі класів орієнтованих h-кобордизмів гомотопічної n-сфери. Ця група скінченна та абелева.

Група має циклічну підгрупу

,

відповідну -сферам, які обмежують .

Якщо n парне, то група тривіальна. Якщо , то група має порядок 1 або 2: вона має порядок 1 за n = 1, 5, 13, 29 або 61; вона має порядок 2 за , якщо при цьому . Якщо , тобто , то за порядок дорівнює ,

де  — чисельник дробу ,  — числа Бернуллі. (Іноді формула дещо відрізняється через різні визначення чисел Бернуллі.)

Фактор-групи описуються через за модулем образу . Точніше, існує ін'єктивний гомоморфізм

,

де  — n-на стабільна гомотопічна група сфер,  — образ J-гомоморфізму. Цей гомоморфізм або є ізоморфізмом, або має образ індексу 2. Останнє трапляється тоді й лише тоді, коли існує n-вимірний паралелізовний многовид з 1.

Питання існування такого многовиду називається задачею Кервера. Станом на 2012 рік її не було розв'язано лише для випадку . 30 травня 2024 року Чжоулі Сю (у співпраці з Вейнаном Ліном і Гуоженом Ваном) під час семінару в Принстонському університеті оголосив, що остаточний випадок розмірності 126 розв'язано і що існують многовиди інваріанту Кервера 1 у розмірності 126. Многовиди з інваріантом Кервера 1 побудовано в розмірностях 2, 6, 14, 30 і 62.

Розмірність n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Порядок Θn 1 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1 3 2 16256 2 16 16 523264 24Порядок bPn+1 1 1 1 1 1 1 28 1 2 1 992 1 1 1 8128 1 2 1 261632 1Порядок Θn/bPn+1 1 1 1 1 1 1 1 22×2 6 1 1 3 2 2 2 2×2×2 8×2 2 24Порядок πnS/J 1 2 1 1 1 2 1 2 2×2 6 1 1 3 2×2 2 2 2×2×2 8×2 2 24Індекс - 2 - - - 2 - - - - - - - 2 - - - - - -

Подальші значення в цій таблиці можна обчислити з наведеної вище інформації разом із таблицею .

У непарних розмірностях сфери і тільки вони мають єдину гладку структуру.

n ≠ 4 У розмірності практично нічого не відомо про моноїд гладких сфер, крім того, що він є скінченним або зліченно-нескінченним та абелевим. Невідомо, чи існують екзотичні гладкі структури на 4-вимірній сфері. Твердження, що їх немає, відоме як «гладка гіпотеза Пуанкаре».

Так зване скручування Глака полягає у вирізуванні трубчастого околу 2-сфери S2 в S4 і вклеюванні його назад за допомогою дифеоморфізму його межі . Результат завжди гомеоморфний S4, але в більшості випадків невідомо, чи він дифеоморфний S4.

Скручені сфери Нехай дано дифеоморфізм , який зберігає орієнтацію. Склеївши дві копії кулі за відображенням між межами, отримаємо так звану сферу, скручену дифеоморфізмом . Скручена сфера гомеоморфна стандартній, але, власне кажучи, не дифеоморфна їй.

Іими словами, многовид називається скрученою сферою, якщо він допускає функцію Морса рівно з двома критичними точками.

За n ≠ 4 будь-яка екзотична сфера дифеоморфна деякій скрученій сфері. За n = 4 будь-яка скручена сфера дифеоморфна стандартній.

Див. також Теорія Серфа Многовид Бріскорна Дика сфера

Примітки

Джерела

This book describes Brieskorn's work relating exotic spheres to singularities of complex manifolds.  — This paper describes the structure of the group of smooth structures on an n-sphere for n > 4. The promised paper «Groups of Homotopy Spheres: II» never appeared, but Levine's lecture notes contain the material which it might have been expected to contain.

.

. .

Посилання Екзотичні сфери на Manifold Atlas Екзотичні сфери Анімації екзотичних 7-сфер — відео з доповіді Найлза Джонсона з Другої Абелівської конференції. Gluck_construction