Нехай — це многочлен з цілими (або p-адичними цілими) коефіцієнтами, нехай m, k це додатні цілі такі, що m ≤ k. Якщо r є цілим таким, що
і
тоді існує ціле s таке, що
і
І також, таке s єдине за модулем pk+m і його можна обчислити як таке ціле
де це ціле, що задовольняє
Зауважимо, що так, що дотримується умова Додатково зазначимо, що якщо , тоді можливо мати 0, 1 чи декілька s.
Виведення Виведення леми розглядає розклад у ряд Тейлора функції в околі З ми бачимо, що s повинно мати таку форму для деякого цілого
Нехай , де , отже
для деякого многочлена з цілими коефіцієнтами.
Ділячи обидві частини за модулем , ми бачимо, що для того, щоб виконувалось , нам треба
Тоді ми зауважимо, що для деякого цілого оскільки є коренем . Таким чином, , тобто
Розв'язуючи для у отримуємо згадану вище формулу для Припущення, що не ділиться на p гарантує, що має унікальне обернене за модулем Отже, розв'язок для t існує і єдиний за модулем і існує і єдине за модулем .
Наслідки Якщо і є розв'язком тоді підіймається до для всіх цілих Отже, підіймається до відмінних розв'язків Якщо але не є розв'язком тоді не підіймається до якогось розв'язку Отже, якщо має розв'язки, то жоден з них не лежить над
Приклад Розв'язати конгруентність Тобто За модулем 5: тому покладемо отже
Примітки
Посилання