Лічба на пальцях, дактилономія — математичні обчислення, що здійснюються людиною за допомогою згинання, розгинання або вказання пальців рук (іноді й ніг). Пальці рук вважаються найпершим лічильним інструментом древньої людини з епохи верхнього палеоліту. Рахунок на пальцях широко застосовувався в стародавньому світі і середньовіччі. Наразі використовується обмежено: арабськими та індійськими торговцями на Середньому Сході.Карл Меннингер «Історія цифр. Числа, символи, слова» Також використовується при , зокрема під час торгів на фондових біржах за допомогою , у грі , а також суддею в боксі при відліку секунд під час нокдаунуБ. Казаченко «Тридев'яте царство, тридесята держава, або як рахували наші предки» // Журнал «Наука та життя», № 10, 2007 рік..
Створення числової послідовності
Пальці рук і ніг дали людині першу числову послідовність, яка повністю відділилася від лічильних об'єктів. Бувши розділеними на диференційовані групи природою, числа сформували такі розряди: 5 — пальців на одній руці, 10 — пальці на двох руках, 20 — всі пальці рук і ніг. Що відбилось у назвах чисел мов деяких народів: п'ять — «одна рука»Наприклад: «п'ядь» — старовинна одиниця вимірювання, рівна долоні (17,78 см), також староросійське слово «п'ясток» означає долоня, кисть руки (Володимир Даль «Словник живої великоросійської мови»); десять — «дві руки»; двадцять — «один чоловік». Коли закінчувалися числа, що могли бути вираженими пальцями рук і ніг однієї людини (20), наставала друга серія підрахунку: йшла точно таким же чином, додаючи до «однієї людини» таке ж число пальців «другої людини» (20+20=40), і т. п.
Включення пальців рук і ніг визначило створення двадцяткової системи числення у цивілізації мая в Новому Світі (при цьому існувала структура у вигляді чотирьох блоків по п'ять цифр, що відповідало п'яти пальцям руки та ноги), а обмеження обчислення пальцями рук призвело до формування десяткової системи числення, яка запанувала у народів Євразії. П'ятіркова система, яка взяла за основу пальці однієї руки, поширилася в тропічній Африці. Двадцяткова система числення в Старому Світі була традиційною у чукчів, до цього часу використовується у назві чисел в нахських мовах, а як мовний пережиток залишила слід у французькому слові «quatre-vingts» («вісімдесят»: буквально — «двадцять чотири рази»)В. П. Алексєєв, А. И. Першиц «Історія первісного суспільства: підручник для студентів вузів за фахом „Історія“», — М.: АСТ, 2007, С. 299. ISBN 5-17-022316-1.
Найперша згадка про десяткову систему пальцевої лічби в літературі міститься у Публія Овідія Назона в книзі «Фасти», де автор поетично зобразив уявлення древніх римлян про число пальців рук, які були пов'язані з десятьма місячними місяцями жіночої вагітності.
Інший, вельми поширений у давнину варіант — лічба четвірками пальців. При цій лічбі великий палець не рахувався. Так, в давньоруській мові всі пальці, крім великого, називалися словом «пьрст'», а великий — «пальць». В англійській мові до цього часу чотири «лічильні» пальця іменуються словом «fingers», а великий палець — «thumb». В цьому обчисленні пальці двох рук становлять основу стародавньої вісімкової системи числення (відрізняється від сучасної).
Крім того на чотирьох пальцях однієї руки 12 фаланг, якщо їх рахувати п'ятим, великим пальцем, тобто дотик кінчика великого пальця до кожної фаланги приймати за одиницю . Ця особливість вплинула на появу дванадцяткової і шістдесяткової систем числення (у другому випадку, великий палець кілька разів поспіль стосувався усіх фаланг і рахунок тривав далі, але після кожного нового циклу торкань загинався один палець на іншій руці).
Лічба на пальцях у різних народів
Римська лічба
До складу Римської республіки, а пізніше — імперії, входило безліч народів, а сфера торгівлі охоплювала все Середземномор'я і країни Близького Сходу, які мають різну рахункову писемність або не мають такої взагалі. Як результат, виникла досить розвинена, і головне, що працює, система лічби на пальцях, при якій торговці могли оперувати числами до 10.000 за допомогою одних лише пальців двох рук, і до 1.000.000.000, задіюючи інші частини тіла.
Пліній Старший (23-79 рр.) і Макробій (V ст.) залишили описи римської статуї бога Януса, якого багато місцевих жителів вважали також богом Сонця, оскільки пальці цієї статуї зображували число 300 на правій руці і число 65 — на лівій: всього 365, що означало кількість днів у році, протягом яких Сонце проходило своє річне коло по небу. Римський історик Ювенал (вмер близько 130 р.), розповідаючи про мудрого старця Нестора, який завойовував серед інших грецьких героїв Трою, між іншим свідчить, що пальці правої руки зображують сотні (і щасливий той з людей, хто зміг обдурити смерть і може показати свій вік на правій руці). Квінтиліан (вмер близько 96 р.) каже, що неосвічену людину насамперед видає невміння правильно показати числа на пальцях. Ймовірно для невідомої римської гри використовувалися комплекти жетонів зі слонової кістки по 15 штук кожен, на одній стороні жетона стояла римська літерна нумерація, а на інший було нанесено зображення руки, що показує це число особливим жестом. Загальне знання пальцевої лічби освіченими людьми Римської імперії підтверджується і працями ранніх отців Церкви, які за допомоги символіки числових жестів тлумачили Євангеліє, вважаючи, що їх читачі чудово розуміють, про що йде мова, і не потребують спеціальних пояснень. Так, святий Ієронім (342—419/420 рр.), коментуючи притчу Ісуса Христа про сіяча і насіння, яке, впавши в добрий ґрунт, дало зерна — «одне — сотню, інше — шістдесят, а третє — тридцять», як пояснювання приваблює форму жестів римської пальцевої лічби як самоочевидного для всіх (хоча до радвинських традицій вона відношення не має): «30 — це символ шлюбу, бо такий спосіб розташовування пальців, коли вони поєднані і переплетені, немов у міцних обіймах, являє собою чоловіка і дружину. 60 — символ вдівства, оскільки вдова згинається від горя і бід, що обрушилися на неї, точно так само, як (великий палець) згинається під тиском вказівного пальця, що лежить на ньому (при зображенні числа 60)… 100 — переноситься з лівої руки на праву…Коло, утворене пальцями правої руки, означає корону дівочої чистоти». Інший християнський письменник — Августин Блаженний (354—430 рр..), під час тлумачення Євангеліє від Іоанна (21:11), де вказано чудесний улов Апостолів з 153 рибин, показав, що за допомогою пальців можна було проводити обчислення, фіксуючи проміжний результат.
Ця система давньоримської лічби перейшла в середньовічну Європу, перша реконструкція пальцевої лічби, була вперше докладно викладена в капітальній праці за хронологією «De temporum ratione» англійського вченого ченця Біди Високоповажного в 725 році. За свідченням Валафрида Страбо, абата монастиря в Рейхенау на Бодензее, вивчав арифметику влітку 922 року під керівництвом Татто, дорослих учнів навчали мистецтву лічби за пальцевою методикою, викладеною в вищеназваній книзі Біди. В цей час мало використовуваний в торгівлі пальцевий рахунок зайняв своє місце в кабінетах вчених і школах для духівництва. Про зникнення лічби на пальцях з повсякденного світського ужитку як про доконаний факт говорить знаменитий проповідник Бертольд Регенсбурзький (1220—1272 рр.). Рахувати на пальцях вмів всебічно освічений імператор Фрідріх II Гогенштауфен (вмер 1250 р.). Першою середньовічної світської книгою, в якій знову відроджується інтерес до пальцьового рахунку та наводиться його детальний опис, стає трактат «Сума арифметики, геометричних пропорцій і пропорційності» італійського математика Луки Пачолі, видрукуваний типографським способом у Венеції в 1494 році. У трактаті стверджувалося, що пальцева лічба на той час мала величезне значення в математичній науці. У книзі «Абака і старовинний звичай древніх латинян рахувати за допомогою рук і пальців», виданій у Нюрнберзі в 1522 році німецький письменник Аветин використовує пальцеву лічбу як допоміжний для фіксування проміжних результатів розрахунків на абаці. Про те ж застосування рахунку на пальцях, але в поєднанні з арабськими (індійськими) цифрами у свій час говорив і італійський математик Леонардо Пізанський (1180—1250 рр.), стверджуючи, що той, хто хоче досконало оволодіти мистецтвом обчислень, повинен навчитися рахувати на пальцях. Проте з поширенням в Європі у XVI столітті нових арабських (індійських) цифр, за допомогою яких було зручно здійснювати обчислення на папері, пальцева лічба почала зникати. Останнім твором, у якому детально описувалася пальцева лічба як історичний курйоз, став «Арифметично-геометричний театр» Якоба Леопольда, опублікований в 1727 році. З того часу римський рахунок на пальцях у Західній Європі повністю вийшов з ужитку, найдовше (місцями зберігся до наших днів) протримавшись на територіях сучасних Румунії й Молдови, а також серед циган Сербії.
Арабсько-східноафриканська лічба
Протягом тривалого часу на території Арабського халіфату і країн, що виникли після його розпаду, в торгових операціях використовувався римська пальцева лічба, ще у XIV столітті арабські та перські документи свідчать про добре знання арабами римської системи рахунку, схожою з тією, яка була записана Бідою Високоповажним в Європі початку VIII століття. Особливістю цього числення стала зміна рук, що означають десятки та сотні, відповідно до системи арабського письма справа-наліво. Таким чином, права рука стала означати сотні, а ліва — одиниці та десятки. Згодом, на східних базарах і в портах Червоного моря та східного узбережжя Африки, торговці виробили власну оригінальну математичну мову жестів. Покупець і продавець, щоб уникнути недобросовісних посередників, конкурентів і небажаних свідків, таємно домовляються про ціну, накривши свої руки тканиною і торкаючись долонь один одного за певними правилами.
Дотик до витягнутого вказівного пальця продавця, в залежності від ціни і використовуваних грошових одиниць, буде означати 1, 10 або 100. Одночасний дотик до двох, трьох або чотирьох пальців продавця буде означати відповідно 2 (20, 200), 3 (30, 300) або 4 (40, 400). Дотик відкритою долонею вказує на число 5, 50 або 500. Доторкнутися до мізинця означає 6, 60 або 600, безіменний палець — 7, 70 або 700, середній палець — 8, 80 або 800, зігнути вказівний палець — 9, 90 або 900, торкнутися Великого пальця — 10, 100 або 1000. При цьому численні може дотримуватися послідовність числових ступенів, наприклад число 78 задається дотиком безіменного пальця продавця, а потім — його середнього пальця. Постукування по вказівному пальцю продавця в напрямку від середнього суглоба до кінчика пальця — пропозиція про зниження ціни удвічі (1/2), чверть (1/4) або на восьму частину (1/8) від початкової. Постукування по вказівному пальцю від основи пальця до його середнього суглоба — буде надбавкою половини (1/2) від запропонованої ціни, або 1/4, або 1/8. Якщо перед зазначенням дробового степеня вказується ціле число, то воно множиться на дробову ступінь.
Китайська лічба
Китайський метод лічби заснований на кількості і символіці пальців. Використовуючи цей метод, на двох руках можна порахувати до 20. Варто зауважити, що в деяких провінціях жести можуть відрізнятися. 0 — складений кулак; 1 — розціплений вказівний палець; 2 — розціплені та розчепірені вказівний і середній пальці; 3 — розціплені та розчепірені вказівний, середній і безіменний пальці; 4 — крім притиснутого до долоні великого пальця, інші розціплені; 5 — відкрита долоня; 6 — випрямлені мізинець і великий палець, інші — стиснуті в кулак; 7 — великий палець разом з вказівним і середнім складені в пучку; 8 — випрямлені вказівний і великий пальці, решта — стиснуті в кулак; 9 — вказівний і великий вигнуті у вигляді букви «З», решта — стиснуті в кулак; 10 — три варіанти. Перший: рука стискається в кулак; другий: вказівні пальці обох рук перетинаються; третій: випрямлений середній палець заводиться за випрямлений вказівний, решта — стиснуті в кулак.