Лема Штайніца про заміну — твердження в лінійній алгебрі про те, що довільну множину лінійно незалежних векторів у (скінченновимірному) лінійному просторі можна доповнити до базису простору елементами деякого заданого базису. Лема використовується в доведенні твердження про однакову кількість елементів у всіх базисах скінченновимірного лінійного простору.
Названа на честь німецького математика Ернста Штайніца.
Твердження леми Нехай — базис лінійного простору а — множина лінійно незалежних векторів. Тоді:
Серед векторів можна вибрати підмножину з векторів, які разом з утворюють базис простору .
Доведення Доведення здійснюється методом математичної індукції за величиною .
Для , є пустою множиною і тоді .
Припустимо твердження є справедливим для всіх множин , для яких . Покажемо справедливість для .
Визначимо множину і . З припущення індукції і існує підмножина , така що і . Для визначеності припустимо що .
Оскільки множина є базисом лінійного простору то:
для деяких скалярів .
Для деякого , виконується , бо в іншому разі , що суперечить лінійній незалежності векторів з . Без втрати загальності нехай .
Тоді . Тоді , тобто для кожного визначені скаляри , для яких .
Достатньо взяти . Тоді .
Також . Якщо б було , то і відповідно , що суперечило б лінійній незалежності . Оскільки < то .
Джерела