Лема Ріса — твердження в функціональному аналізі про властивості лінійних замкнутих просторів у нормованому просторі. Названа на честь угорського математика Фридєша Ріса, що опублікував доведення у випадку гільбертових просторів у 1918 році Frigyes Riesz, Über lineare Funktionalgleichungen, Acta Math., 41 (1918), 71–98..
Твердження Нехай Y — замкнутий лінійний підпростір нормованого простору X. Тоді для довільного дійсного числа, такого що 0 < α < 1 існує такий елемент x ∈ X, що
і також
для всіх y ∈ Y. Іншими словами , де d(x, Y) позначає відстань елемента x від множини Y щодо норми нормованого простору X.
Доведення
Нехай елемент v ∈ X \ Y і також позначимо
Оскільки підпростір Y є замкнутим, то a > 0. З визначення інфімуму випливає існування такого елемента y0 ∈ Y, що
Нехай x = c(v — y0), де
Норма елемента x рівна 1. Окрім того, для кожного y ∈ Y
Оскільки
то також
Отже,
що завершує доведення.
Примітки
Джерела