Визначення
Нехай — локально тривіальне розшарування з загальним простором , базовим простором , проективним відображенням і стандартним шаром . Перетином розшарування (іноді використовується термін переріз розшарування) називається ін'єктивне неперервне відображення таке що
для всіх . Таким чином відображення є правим оберненим до відображення . Множину всіх (глобальних) перетинів позначають або просто .
У диференціальній геометрії , і є гладкими многовидами, відображення теж є гладким і в означення перетину теж вимагається диференційовність того ж класу.
Приклади Нехай є тривіальним розшаруванням і є простою проєкцією на другий аргумент. Тоді перетин є ізоморфним до деякого неперервного відображення Багато важливих об'єктів у топології і диференціальній геометрії можуть бути визначені як перетини відповідних розшарувань. Зокрема:
Векторне поле на многовиді є перетином , дотичного розшарування на многовиді. Подібним чином диференціальна форма степеня — це гладкий перетин -ого зовнішнього степеня кодотичного розшарування многовиду. Більш загально тензорне поле типу є перетином тензорного розшарування типу .
Локальні і глобальні перерізи Коли перетин визначений на всьому базовому просторі він називається глобальним. Якщо натомість — відкрита підмножина і для розшарування існує перетин такий що для всіх то цей переріз називається локальним. З локальної тривіалізації очевидно, що кожне локально тривіальне розшарування має локальні перерізи в околі кожної своєї точки.
Натомість розшарування може не мати глобального перетину. Наприклад стрічка Мебіуса з видаленим нульовим перетином є локально тривіальним розшаруванням з базовим простором (звичайним колом) і стандартним шаром . На цьому розшаруванні немає глобального перетину.
Іншим прикладом може бути, наприклад, реперне розшарування на кулі , тобто розшарування де і для кожної точки елементами шару є всі упорядковані базиси дотичного простору . Глобального перетину для цього розшарування немає оскільки не існує навіть всюди ненульового векторного поля на кулі.
Натомість кожне векторне і тензорне розшарування мають глобальні перетини (зокрема нульові перетини). Головне розшарування має глобальний перетин тоді і тільки тоді, коли воно є тривіальним.
Література Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0. Norman Steenrod, The Topology of Fibre Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.