Абсолютним значенням на тілі або полі називається відображення тіла K в множину невід'ємних дійсних чисел, що задовольняє умовам:

Абсолютне значення часто також називають нормою, мультиплікативним нормуванням. Абсолютні значення можуть більш загально розглядатися на будь-якому кільці зі значеннями в лінійно впорядкованому кільці. Абсолютні значення, що задовольняють умові

називаються ультраметричними або неархімедовими. В іншому випадку вони називаються архімедовими.

Приклади

Якщо  — поле дійсних чисел, то є абсолютною величиною, або модулем, числа . Аналогічно, якщо K  — поле комплексних чисел або тіло кватерніонів, то Абсолютне значення підполя цих полів також забезпечуються індукованим абсолютним значенням. Будь-яке тіло має тривіальне абсолютне значення:

Для скінченних полів і їх алгебраїчних розширень визначені тільки такі абсолютні значення. Приклади абсолютних значень іншого типу дають логарифмічні нормування тіла K: якщо v  — нормування K зі значеннями в групі і a — дійсне число, таке що , то є абсолютним значенням. Наприклад, якщо , а і є р-адичним нормуванням поля , то називається р-адичним абсолютним значенням, або р-адичною нормою.

Властивості

Якщо 1  — одиничний елемент поля чи тіла, то і також для всіх елементів x. . Рівняння щодо невідомої має два розв'язки в множині , і . З визначення абсолютного значення випливає , тому .

Також , тому . Оскільки абсолютне значення не може бути від'ємним, то .

Нарешті , відповідно Для ультраметричних абсолютних значень для всіх цілих чисел n. Навпаки для будь-якого абсолютного значення , якщо хоча б для якогось натурального числа n > 0, то є ультраметричним абсолютним значенням. Еквівалентно, якщо для всіх цілих чисел n і довільного (спільного для всіх n) додатного дійсного числа M, то абсолютне значення є ультраметричним. Для ультраметричних абсолютних значень справедливе твердження:

Припустимо, без втрати загальності, що .

З визначення ультраметричного абсолютного значення . Звідси .

Оскільки , також .

Натомість, .

З попередніх двох нерівностей випливає, що Всі ультраметричні абсолютні значення отримуються з нормування зазначеним вище способом: (і навпаки, за нормування завжди можна взяти ). Якщо характеристика поля не є рівною 0, то всі абсолютні значення, визначені на ньому є неархімедовими. Якщо абсолютне значення визначене для комутативного кільця R, що є областю цілісності то абсолютне значення можна однозначно продовжити на його поле часток прийнявши

Топологічні властивості і еквівалентність Абсолютне значення визначає метрику на K, якщо за відстань між x і y прийняти , і тим самим визначає топологію на K. Так, топологія будь-якого локально компактного тіла визначається деяким абсолютним значенням.

Абсолютні значення і називаються еквівалентними, якщо вони визначають одну топологію; в цьому випадку існує таке , що для всіх .

Еквівалентні класи всіх архімедових абсолютних значень (визначених на тілі із значеннями в множині дійсних чисел) описує теорема Островського: якщо  — архімедове абсолютне значення на тілі K, то існує такий ізоморфізм K на деяке всюди щільне підтіло тіла або , що є еквівалентним абсолютному значенню, індукованому з або .

Будь-яке нетривіальне абсолютне значення поля раціональних чисел є еквівалентним або р-адичному абсолютному значенню (де p  — просте число), або звичайному модулю числа. Ця теорема також називається теоремою Островського. При цьому для будь-якого раціонального числа :

Аналогічна формула справедлива і для полів алгебраїчних чисел.

Продовження абсолютних значень

Якщо  — деяке абсолютне значення тіла K, то K може бути вкладене, за допомогою класичного процесу поповнення, в тіло , що є повним щодо абсолютного значення, що продовжує .

Одним з методів вивчення полів є вкладення поля K в прямим добуток поповнень поля K за всіма абсолютними значеннями. Поле K є щільним в : якщо  — нетривіальні нееквівалентні абсолютні значення на полі K, і , то існує таке , що для всіх i (теорема апроксимації для абсолютних значень).

Абсолютне значення поля K може бути продовженим (взагалі кажучи неоднозначно) на будь-яке алгебраїчне розширення поля K. Якщо K є повним щодо абсолютного значення , a L є розширенням K степеня n, то продовження на L визначається однозначно і задається формулою:

де  — норма елемента для відповідного скінченного розширення.

Див. також Нормування (алгебра)

Посилання

Джерела