Фо́рмула Геро́на дозволяє визначити площу трикутника за даними довжинами його сторін , і .
Також, розписуючи вираз під коренем і використовуючи формули для квадрата двочлена і різниці квадратів, можна одержати еквівалентні варіанти формули:
Доведення (тригонометричне)
Візьмемо широко відому формулу обчислення площі трикутника: , де — кут трикутника, що лежить навпроти сторони .
Згідно з теоремою косинусів . Звідси .
Тому
. Оскільки справедливі рівності , , , , отримуємо, що
Таким чином, .
Доведення (геометричне)
Нехай дано трикутник , та — вписане та зовнівписане (яке дотикається до сторони ) коло відповідно, — центр вписаного кола (інцентр, точка перетину бісектрис), — центр зовнівписаного кола (точка перетину внутрішньої та двох зовнішніх бісектрис).
Нехай — точка дотику вписаного кола до сторони , а — точка дотику зовнівписаного кола до продовження сторони . Тоді — радіус вписаного кола , — радіус зовнівписаного кола , і нехай — півпериметр трикутника ..
З властивостей вписаного та зовнівписаних кіл відомо, що , , , a , причому та .
Звідси маємо, що трикутники та подібні (як прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом ). Тому , тобто . Звідси .
Знайдемо кут . Оскільки — прямокутний, то . За побудовою — бісектриса кута (як зовнішній кут), а тому . Звідси .
Але також , оскільки — бісектриса кута . Отримали, що трикутники та подібні (як прямокутні за рівними гострими кутами). Тому , тобто . Звідси .
З рівностей одержимо, що . Замінивши по вище доведеній формулі , одержимо остаточно , або, що те саме, .
Варіації й узагальнення
Формулу Герона можна записати за допомогою визначника у виглядіWeisstein, Eric W. Heron's Formula. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.:
Перший визначник останньої формули є окремим випадком визначника Келі — Менгера для обчислення гіпероб'єму симплекса.
Низка формул для площі трикутника подібні за структурою до формули Герона, але виражається через інші параметри трикутника. Наприклад, через довжини медіан , и і їх півсуму <ref>Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, « Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.</ref>: ; через довжини висот , и і півсуму їх обернених величин Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.: ; через кут трикутника , і , півсуму їх синусів і діаметр описаного кола Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines, " Mathematical Gazette 93, March 2009, 108—109.:
Формула Герона — Тартальї Для тетраедрів існує формула Герона — Тартальї, узагальнена також на випадок інших багатогранників (згинаний многогранник): якщо в тетраедра довжини ребер рівні , то для його об'єму істинний вираз: .
Формулу Герона — Тартальї можна виписати для тетраедра в явному вигляді: якщо , , , , , — довжини ребер тетраедра (перші три з них утворюють трикутник; і, наприклад, ребро протлежне ребру і так далі), то справедливі формулиW. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», , pp. 16-17. Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132 :
де: .
Теорема Люїльє За теоремою Люїльє площа сферичного трикутника виражається через його сторони как: , де — півпериметр.
Формула Брамагупти
Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметр p дорівнює
У цьому випадку трикутник виявляється граничним випадком уписаного чотирикутника при прямуванні довжини однієї зі сторін до нуля. Та ж формула Брахмагупти через визначникСтариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39:
Примітки
Посилання
Кушнир И. А.'' Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — 592 с.: ил. ISBN 978-5-4439-0058-2